Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Функціонал оцінювання 3 страница





Доверь свою работу кандидату наук!
1500+ квалифицированных специалистов готовы вам помочь

Розв’язання.

а) Скориставшись тим, що

,

отримуємо систему рівнянь:

.

Розв’язавши цю систему рівнянь, отримуємо, що x1 = 0,5, x2 = 0,5,

.

б) Скориставшись тим, що

,

отримуємо систему рівнянь

.

Ця система рівнянь зводиться до квадратного рівняння:

415 x12240 x1 – 31 = 0,

яке має корені x¢ = – 0,109 та x¢¢ = 0,687. Оскільки x¢ < 0, то в ПЦП частка ЦП виду A1 становить x1 = x¢¢ = 0,687, виду A2 x2 = 1 –– x¢¢ = 0,313.

Сподівана норма прибутку отриманого ПЦП становить

mП = x1m1 + x2m2 = 0,69 × 60 = 0,31 × 40 = 53,84(%).

Портфель з багатьох видів цінних паперів

Перейдемо тепер до загального випадку, коли до складу ПЦП залучено N (N > 2) різних акцій.

Розглянемо, наприклад, три акції, що мають норми прибутку відповідно 15%, 10%, 5%, середньоквадратичні відхилення 10%, 7%, 3% і коефіцієнти кореляції r23 = – 0,2; r12 = – 0,4; r13 = + 0,6. У системі координат mП – sП (норма прибутку — ризик, рис.5) побудуємо точки А1, А2, А3, що відповідають однорідним ПЦП, сформованим з відповідних акцій. На цьому ж рисунку побудуємо лінії (дуги), що відповідають ПЦП, сформованому з двох видів акцій (ÈА3А1; ÈА3А2; ÈА2А1).

Рис. 4.5. Множина допустимих портфелів цінних паперів

Точкам К Î È А3А2 та L Î È А2А1відповідають певні ПЦП, cформовані з двох (відповідно А3, А2та А2, А1) видів акцій. Для цих портфелів можна розрахувати норми прибутку і ризики. Вважатимемо тепер, що кожний з цих портфелів є певного виду «цінним папером» відповідно К та L. А тому, в свою чергу, можна сформувати новий ПЦП для ЦП К та L. Такі ПЦП вже будуть включати по три акції (А1, А2, А3) і їм відповідає дуга ÈКL.

Міркуючи таким чином, приходимо до висновку, що кожна точка, яка належить до заштрихованої області (рис. 4.5), відповідає деякому ПЦП, сформованому з трьох видів акцій.

Допустимою множиною ПЦП називається область, точки якої характеризують ступінь ризику та норму прибутку портфеля за всіх можливих часток окремих акцій в портфелі (на рис. 4.5 — це область, обмежена жирною лінією).



Особливістю дуги ÈО*А1, яка належить допустимій множині, є те, що для будь-якої точки цієї дуги не можна вказати іншої точки допустимої області, для якої ПЦП був би кращим.

Ефективною множиною ПЦП називаються ті портфелі, що відповідають точкам дуги ÈО*А1. Тобто ефективним портфелем вважається такий, для якого в допустимій множині ПЦП не можна вказати іншого портфеля:

· з тим же значенням величини сподіваної норми прибутку і меншим ступенем ризику;

· з тим же значенням величини ризику і більшим значенням сподіваної норми прибутку.

Очевидно, що для ПЦП, складених з двох акцій, допустима множина збігається з множиною ефективних портфелів, і вони складають дугу ÈО*А1 (рис. 4.4).

Розглянемо тепер загальний випадок побудови ПЦП, сформованого з N ЦП. Як і раніше, позначимо через Rk, mk = M(Rk), sk — відповідно норму прибутку, сподівану норму прибутку та ризик k-го ЦП, k = 1, ..., N; через rkj — коефіцієнт кореляції між k-тим та j-тим видом ЦП.

Задача збереження капіталу

Сутність її полягає у виборі такої структури ПЦП, щоб ризик цього портфеля був мінімальним. Формальна постановка цієї задачі така:

;

Розв’язку задачі відповідає точка О* на рис. 4.6. Метод знаходження структури ПЦП, що задовольняє умову поставленої задачі, базується на побудові та знаходженні точки мінімуму відповідної функції Лагранжа, яке, в свою чергу, зводиться до розв’язання наступної системи лінійних алгебраїчних рівнянь [4]:

(4.9)

Тут l — додаткова змінна (невідома величина) поява якої спричинена використанням методу Лагранжа.

Слід мати на увазі, що метод Лагранжа, запропонований для розв’язання поставленої задачі, не враховує обмежень щодо невід’ємності величин xk, тобто що xk ³ 0; k = 1, ..., N. А тому розв’язок системи (4.9) необхідно проаналізувати з цієї позиції.

Позначимо через Х* = {x1*; x2*;…; xN*} розв’язок системи (4.9). Якщо всі компоненти вектора Х* є додатними (xk* > 0, k = 1, ..., N) то цей вектор описує структуру оптимального ПЦП, що відповідає точці О* (рис. 4.6).

Якщо серед компонент Х* виявляться від’ємні, то в шуканий ПЦП не включається той ЦП, частка якого є від’ємною і найменшою серед отриманих від’ємних часток. Після вилучення цього ЦП знову розраховується структура оптимального ПЦП, складеного з (N – 1) ЦП. Процес вилучення такого роду «несприятливих» ЦП продовжується до тих пір, поки частки всіх ЦП, включених у портфель, не стануть позитивними.

Рис. 4.6. Геометрична інтерпретація задач щодо формування різних видів ПЦП

Приклад 8. Сподівані норми прибутку акцій виду A1, A2, A3та A4 становлять відповідно 60%, 50%, 40% та 70%. Ризики цих акцій становлять 40%, 30%, 25% та 50%. Тісноту зв’язку між нормами прибутку цих акцій відображають коефіцієнти кореляції r12 = 0.2; r13 = – 0,3; r23 = – 0,5; r14 = 0,9; r24 = 0,7; r34 = – 0,3.

Необхідно сформувати з цих акцій ПЦП, що має мінімальний ризик. Оцінити його сподівану норму прибутку та його ризик.

Розв’язання. Згідно з умовою задачі

Згідно з (4.9) отримуємо систему рівнянь:

.

Розв’язавши отриману систему рівнянь, знаходимо: х1 = 2,412; х2 = 1,768; х3 = – 0,402; х4 = – 2,778. Оскільки х4 = – 2,778є найменшим від’ємним числом, то надалі акцію виду А4 в ПЦП не включаємо. Для акцій виду А1, А2 та А3 складаємо нову систему рівнянь:

.

Згідно з останньою системою рівнянь отримуємо, що х1 = 0,1392; х2 = 0,3453; х3 = 0,5155.

Тоді величина сподіваної норми прибутку ПЦП

mП* = x1m1+ x2m2 + x3m3 = 46,237,

а мінімальна величина ризику серед усіх ПЦП, сформованих з ЦП виду А1, А2 та А3, становить

Зауваження 2.Якщо ввести позначення

; ; ,

то систему рівнянь (4.9) можна записати у матричному вигляді:

.

Тоді розв’язок системи (4.9) знаходиться згідно з формулою:

.

 

Задача одержання бажаного (фіксованого) прибутку

Сутність задачі полягає у виборі такої структури ПЦП, щоб сподівана норма прибутку цього портфеля була не меншою від зафіксованого рівня mc (mc = const) і його ризик при цьому був мінімальним. Формально цю задачу запишемо у вигляді таких спів­відношень:



Розв’язку задачі одержання прибутку відповідає точка «К» на рис.3.6. Для знаходження структури ПЦП, що задовольняє умовам поставленої задачі, як і раніше, скористаємось методом Лагранжа [4], який зводиться до знаходження розв’язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь:

(4.10)

де l1,l2 — додаткові змінні (невідомі величини), поява яких спричинена використанням методу Лагранжа.

Приклад 9.З акцій виду А1, А2 та А3, описаних в умові прикладу 8, сформувати ПЦП, сподівана норма прибутку якого становила б mc = 50% і при цьому ризик портфеля був би мінімальним. Обчислити величину його ризику.

Розв’язання.Згідно з (4.10) отримуємо систему рівнянь:

.

Розв’язавши цю систему рівнянь, отримуємо, що х1= 0,402; х2 = 0,196; х3 = 0,402.

Сподівана норма прибутку сформованого ПЦП

mП = 0,402 × 60 + 0,196 × 50 + 0,402 × 40 = 50 = mc,

а його ризик

Як бачимо, що якби ПЦП був сформований лише з акцій виду А2, то його сподівана норма прибутку була б рівною mc = 50%, але ризик його в такому випадку становив би sП = 30%, тобто був би більшим майже в два рази.

 


[1] “Пасивне” економічне середовище характеризують перша, друга, третя та четверта інформаційні ситуації, оскільки згідно з на­веденою вище класифікацією стани економічного середовища в полі цих інформаційних ситуацій реалізуються відповідно до заданого або гіпотетичного закону розподілу ймовірностей.

 

[2] Символ “:” в математичних викладках є еквівалентом слів “для якого”.

Поможем в написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой




Дата добавления: 2014-12-23; Просмотров: 348; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2022) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.035 сек.