Рух тіла на пружині за наявності сили сухого тертя

Рух тіла на пружині за наявності в’язкого тертя

Продовжимо обчислювальний експеримент, уводячи до таблиці значення коефіцієнта опору r, рівне, наприклад, 0,4. На екрані відразу бачимо зміни (рис. 7.7): амплітуди послідовних коливань з
часом стають усе менше й менше. Як відомо, такі коливання називають затухаючими.

	A	B	C	D	E	F
	t	ax	vx	x	Дано:
	0,0	-4,000	0,000	0,010	x 0, м =	0,01
	0,01	-4,000	-0,020	0,010	v 0 x , м/с =
	0,02	-3,840	-0,058	0,009	D t, с =	0,01
	0,03	-3,453	-0,093	0,008	m, кг =	0,1
	0,04	-2,943	-0,122	0,007	k, Н/м =
	0,05	-2,336	-0,146	0,006	r, кг/с =	0,4
...	...	...	...	...

Рис. 7.7

Питання

1. Як, на вашу думку, відреагує модель, якщо коефіцієнтові опору r надати негативне значення? Перевірте для r = – 0,1. Який фізичний зміст може мати отриманий результат?

2. Який сенс може тепер мати вираз F_опору=-rv?

При вивченні сили тертя в шкільному курсі фізики основну увагу приділяють вивченню сили сухого тертя, а при вивченні механічних коливань з урахуванням опору зазвичай розглядають силу в’язкого тертя. Річ у тім, що й фізичний аналіз коливань з урахуванням сухого тертя, і аналітичне розв’язання відповідного рівняння руху тут помітно складніше, ніж при в’язкому терті. Проте застосування комп’ютера для чисельного розв’язання рівняння руху дуже спрощує проблему.

Як відомо, модуль сили сухого тертя при горизонтальному русі визначається виразом F_тр = mmg й у певних межах не залежить від швидкості. Напрям цієї сили завжди протилежний до напряму вектора швидкості. При коливаннях тіла проекція вектора швидкості періодично змінює свій знак, тому й проекція сили тертя також повинна змінювати знак, але в протилежній фазі. (Чому?).

У попередній версії моделі ця властивість сили опору не створювала проблем, оскільки проекція швидкості безпосередньо входила у вираз для сили опору, але тепер така проблема є. Вирішити її можна, дописавши в останній вираз множником функцію sgn(v_х), яка передає у вираз знак свого аргументу v_х:

F_тр = –mmg· sgn(v_х).

А саме:

.

Завдання. Доведіть, що таку ж властивість має вираз v_х./ | v |.

Перехід до нової версії моделі зводиться до заміни у виразідля а_х:

.

Останнє рівняння є математичною моделлю руху тіла на пружині за наявності сили сухого тертя.

Відповідно до цього внесемо зміни й у комірки таблиці:

комірки	формули / числа
B2	=- ($F$6*$F$2+$F$7*9,81*ЗНАК($F$3))/$F$5
B3	=- ($F$6*D2+$F$7*9,81*ЗНАК(C2))/$F$5

Результати моделювання приведені на рис. 7.8.

	A	B	C	D	E	F
	t	ax	vx	x	Дано:
	0,00	-4,00	0,00	0,010	x 0, м =	0,01
	0,01	-4,00	-0,04	0,010	v 0 x , м/с =
	0,02	-3,64	-0,08	0,009	D t, с =	0,01
	0,03	-3,34	-0,11	0,008	m, кг =	0,1
	0,04	-2,90	-0,14	0,006	k, Н/м =
	0,05	-2,34	-0,16	0,005	m =	0,002
...	...	...	...	...

Рис. 7.8(а)

Рис. 7.8(б)

Задача. Брусок масою 500 г, сполучений із закріпленою пружиною жорсткістю 2,45 Н/см, може ковзати на горизонтальній поверхні. Коефіцієнт сухого тертя дорівнює 0,055.

Скільки коливань здійснить брусок до повної зупинки якщо в початковий момент пружина розтягнута на 3 см?

На рис. 7.9 представлене чисельне розв’язання задачі (з відповідним графіком), отримане на основі побудованої моделі.

	A	B	C	D	E	F
	t	ax	v x	x	Дано:
	0,00	-14,70	0,00	0,030	x 0, м =	0,03
	0,01	-14,70	-0,15	0,029	v 0 x , м/с =
	0,02	-13,44	-0,28	0,026	D t, с =	0,01
	0,03	-12,06	-0,40	0,022	m, кг =	0,5
	0,04	-10,09	-0,50	0,017	k, Н/м =
	0,05	-7,63	-0,58	0,011	m =	0,055
…	…	…	…	…

Рис. 7.9

З рисунка 7.9 легко бачити, що до повної зупинки брусок здійснює майже 7 повних коливань протягом часу близько 2 с.

Таким чином, обчислювальний експеримент з математичною моделлю усуває багато ускладнень, які виникають при аналітичному розв’язуванні задач. Це робить їх цілком доступними для школярів.

На закінчення настійно радимо опрацювати наступний матеріал про дуже ефективний метод аналізу коливальних процесів – методі фазових діаграм.

Дата добавления: 2015-01-03