Обчислювальний експеримент. У зв’язку з появою ще однієї змінної величини – показника степеня k – деякі зміни повинен зазнати зовнішній вигляд таблиці

У зв’язку з появою ще однієї змінної величини – показника степеня k – деякі зміни повинен зазнати зовнішній вигляд таблиці.

Не повторюючи усі подробиці, відмітимо тільки головне.

1. Початкові значення змінних v _x (0), v _у (0), x (0) і у (0) зберігатимемо в комірках, розташованих під умовою, причому значення
v _у (0) обчислюватиметься автоматично за модифікованою формулою (9), яку необхідно буде створити в Н9.

	A	B	C	D	E	F	G	H
	a 2 x	a 2 y	v 2 x	v 2 y	x 2	y 2	Дано:
							G=
							D t=
							m 1 =
							m 2 =
							r=
							k=
							v 2 x (0) =
							v 2 y (0) =
							x 2(0) =
							y 2(0) =
.	...	...	...	...	...	...

Зазначимо вхідні дані й початкові (t = 0) умови:

M = 2×10³⁰ кг, m = 6×10²⁴ кг, r = 1,5×10⁸ м, х ₁(0) = 0, y ₁(0) = 0, х ₂(0) = r, y ₂(0) = 0, v _{1 х} (0) = 0, v _{2 х} (0) = 0, v _{1 y} (0) = 0, v _{2 y} (0) = v _{І K}. Знов індекси 1 віднесемо до центрального тіла, а індекси 2 – до тіла-супутника. Крок D t прирощення часу будемо добирати експериментально.

Ключові комірки цієї таблиці мають такий уміст:

комірки	формули / числа	примітки
H7	=2	значення k
H8	=0
H9	=(H2*H4/H6^(H7-1))^0,5	v 1 K – перша космічна
H10	=H6
H11	=0
A2	=-H$2*$H$4*E2/((КОРЕНЬ((E2)^2+(F2)^2))^($H$7+1))	копіювати в А3 і А4
B2	=-H$2*$H$4*F2/((КОРЕНЬ((E2)^2+(F2)^2))^($H$7+1))	копіювати в В3 і В4
C2	=$H$7
D2	=$H$8
E2	=$H$9
F2	=$H$10
C3	=C2+A2*$H$3*0,5
D3	=D2+B2*$H$3*0,5
E3	=E2+C3*$H$3	копіювати в Е4
F3	=F2+D3*$H$3	копіювати в F4
C4	=C3+A3*$H$3
D4	=D3+B3*$H$3

Порядок роботи

1. Заповнити комірки Н2-Н7.

2. Заповнити наступні комірки за наведеною вище таблицею.

3. Усі формули від A4 по F4 копіювати в наступні 200 рядків.

4. За даними стовпців E і F побудувати траєкторію руху.

	A	B	C	D	E	F	G	H
	a 2 x	a 2 y	v 2 x	v 2 y	x 2	y 2	Дано:
	-5931				1,50E+08	0,00E+00	G =	6,67E-11
	-5927	-205	-16309		1,50E+08	5,19E+06	D t =	5,5
	-5916	-410	-48908		1,50E+08	1,04E+07	m 1 =	2,0E+30
	-5899	-614	-81449		1,49E+08	1,55E+07	m 2 =	6,0E+24
	-5874	-818	-113892		1,49E+08	2,07E+07	r =	1,5E+08
	-5842	-1021	-146199		1,48E+08	2,58E+07	k =	2,0
	-5803	-1222	-178331		1,47E+08	3,09E+07	v 2 x (0) =
	-5758	-1422	-210249		1,46E+08	3,60E+07	v 2 y (0) =	9,43E+05
	-5705	-1620	-241916		1,44E+08	4,10E+07	x 2(0) =	1,5E+08
	-5645	-1817	-273293		1,43E+08	4,59E+07	y 2(0) =
...	...	...	...	...	...	...

Рис. 8.16(а)

Враховуючи, що в досліджуваній моделі формули для прискорень а_х і а_у, а також для першої космічної швидкості v _{І K} модифіковані, слід розглядати рис. 8.16 (б) як тест на перевірку цих формул при звичайному значенні k = 2,0

.

Рис. 8.16(б)

Поклавши k = 1,5 і D t = 0,05 с, отримуємо схожий результат.

Можна переконатися в тому, що формально колова траєкторія існує для будь-яких значень k. Зокрема, при k = 1 слід було б узяти D t» 0,0005 с, а при k = 2,2 D t» 50 і т.д. Висновок про існування
колових траєкторій є дійсно формальним. Якщо простежити за тим, яких значень набуває v _{І к} в описаних експериментах (комірка Н9), то виявляється, що в міру зменшення k відбувається швидке зростання орбітальної швидкості аж до с = 3×10⁸ м/с і більше, а це неможливо.

Таким чином, модель перестає адекватно описувати досліджуване явище. Такі занадто великі значення v _{І к} ми маємо сприймати лише як результати обчислень за наведеною формулою і ні в якому разі не приписувати об’єкту властивості неадекватної моделі.

Знов виконаємо тестування. Показник степеня залишимо з попереднім значенням k = 2, проте збільшимо орбітальну швидкість
тіла-супутника v_{y 2}(0) так, щоб задовольнялась умова замкнутої траєкторії v _{І к} <v_y (0) < v _{І к} . Орбіта має набути еліптичної форми. Нагадаємо, що тут v _{ІІ к} = v _{І к} – друга космічна швидкість.

То ж збільшимо попереднє значення v_y (0), наприклад, в 1,25
рази. Для цього, як і раніше, відредагуємо формулу в комірці H9:

=(H2*H4/H6^(H7-1))^0,5 *1,25. (11)

Результат показаний на рис. 8.17(а, б).

	А	B	C	D	E	F	G	H
	a 2 x	a 2 y	v 2 x	v 2 y	x 2	y 2	Дано:
	-5931				1,50E+08	0,00E+00	G =	6,672E-11
	-5806	-920	-59307		1,49E+08	2,36E+07	D t =
	-5451	-1755	-175418		1,45E+08	4,68E+07	m 1 =	2,00E+30
	-4920	-2442	-284431		1,40E+08	6,93E+07	m 2 =	6,00E+24
	-4283	-2948	-382824		1,32E+08	9,08E+07	r =	1,50E+08
	-3609	-3273	-468482		1,23E+08	1,11E+08	k =	2,00
	-2951	-3438	-540652		1,12E+08	1,30E+08	v 2 x (0)=
	-2345	-3475	-599664		9,98E+07	1,48E+08	v 2 y (0) =	1,18E+06
	-1809	-3419	-646555		8,69E+07	1,64E+08	x 2(0) =	1,500E+08
	-1349	-3300	-682729		7,32E+07	1,79E+08	y 2(0) =
...	...	...	...	...	...	...

Рис. 8.17(а)

Рис. 8.17(б)

Якщо початковій швидкості надати значення v_y (0) = v _{І к}, тобто ввести до Н9 нового множника =(H2*H4/H6^(H7-1))^0,5 *2^0,5, одержуємо параболічну траєкторію (рис. 8.18).

	А	B	C	D	E	F	G	H
	a 2 x	a 2 y	v 2 x	v 2 y	x 2	y 2	Дано:
	-5931				1,50E+08	0,00E+00	G =	6,672E-11
	-5919	-263	-14827		1,50E+08	6,67E+06	D t =
	-5884	-523	-44422		1,50E+08	1,33E+07	m 1 =	2,00E+30
	-5827	-777	-73844		1,49E+08	2,00E+07	m 2 =	6,00E+24
	-5749	-1025	-102981		1,49E+08	2,66E+07	r =	1,50E+08
	-5650	-1263	-131725		1,48E+08	3,32E+07	k =	2,00
	-5533	-1490	-159975		1,47E+08	3,98E+07	v 2 x (0) =
	-5398	-1703	-187638		1,46E+08	4,63E+07	v 2 y (0) =	1,33E+06
	-5249	-1902	-214631		1,45E+08	5,28E+07	x 2(0) =	1,500E+08
	-5087	-2086	-240877		1,44E+08	5,93E+07	y 2(0) =
...	...	...	...	...	...	...

Рис. 8.18

Отже, можна вважати, що модель з модифікованими формулами (1), (4), (5) пройшла тестування, оскільки зазначені формули при k = 2 приводять до заздалегідь відомих результатів.

Перейдемо, нарешті, до експериментів з k ¹ 2.

Нехай k = 1.8, v_y (0) = 1,25 v _{І к} відповідно до (11) і нехай D t = 3 с.

Результати моделювання наведені на рис. 8.19 (а – г)

Рис. 8.19 а показує, що тіло-супутник, виконавши один оберт
уздовж еліпса, не потрапляє у початкову точку, оскільки велика вісь еліпса за цей час повертається на деякий кут D j відносно центрального тіла – точки (0; 0).

a) D t = 3 с б) D t = 5 с

в) D t = 15 с г) D t = 17 с

Рис. 8.19

Саме за такими траєкторіями мали б рухатись планети навколо Сонця або штучні супутники навколо планет.

Якщо область допустимої зміни r обмежена лише однією
умовою r ³ r_max то траєкторія приходить із нескінченості і йде на
нескінченість. Якщо область зміни r має дві границі r_mіn і r_max, то траєкторія цілком лежить всередині кільця, обмеженого колами r = r_max і r = r_mіn (рухи вздовж таких обмежених у просторі траєкторій називають фінітними). Це, однак, не означає, що траєкторія неод­мінно є замкнутою кривою. За час, протягом якого r змінюється від r_max до r_mіn і потім знову до r_max, радіус-вектор повертається на кут D j.

Умова замкнутості траєкторії полягає в тому, щоб цей кут дорівнював раціональній частині від 2 π, тобто мав вигляд , де т, п – цілі числа. Тоді через п повторень цього проміжку часу радіус-вектор точки, виконавши т повних обертів, співпаде зі своїм початковим значенням, тобто траєкторія замкнеться.

Однак такі випадки виняткові, і при довільному значенні кут D j не є раціональною частиною від 2 p. Тому в загальному випадку траєкторія фінітного руху не замкнута. Вона нескінчену кількість разів проходить через мінімальну і максимальну відстань (як, наприклад, на рис. 8.20) і за нескінчений час заповнює все кільце між двома
граничними колами.

Умова замкнутості траєкторії полягає в тому, щоб цей кут дорівнював раціональній частині від 2 π, тобто мав вигляд , де т, п – цілі числа. Тоді через п повторень цього проміжку часу радіус-вектор точки, виконавши т повних обертів, співпаде зі своїм початковим значенням, тобто траєкторія замкнеться.

Однак такі випадки виняткові, і при довільному значенні кут D j не є раціональною частиною від 2 p. Тому в загальному випадку траєкторія фінітного руху не замкнута. Вона нескінчену кількість разів проходить через мінімальну і максимальну відстань (як, наприклад, на рис. 8.20) і за нескінчений час заповнює все кільце між двома
граничними колами.

Рис. 8.20

Однак такі випадки виняткові, і при довільному значенні кут D j не є раціональною частиною від 2 p. Тому в загальному випадку траєкторія фінітного руху не замкнута. Вона нескінчену кількість разів проходить через мінімальну і максимальну відстань (як, наприклад, на рис. 8.20) і за достатньо тривалий час заповнює все кільце між двома граничними колами.

Висновки

1. Якщо тіло рухається під дією сили всесвітнього тяжіння, то траєкторією його руху в залежності від початкових умов є одна з кривих другого порядку – еліпс, гіпербола чи парабола.

2. Закон всесвітнього тяжіння не тільки узагальнив, але й багато в чому уточнив Закони Кеплера, що описують рухи планет. Тут і розмаїття орбіт, і поняття про космічні швидкості, і залежність періоду обертання космічного об’єкту від суми мас обох тіл – центрального і супутника тощо.

3. Засобами обчислювального експерименту та вивчення фотографій ми впевнились у тому, що це закон дійсно всесвітнього
значення, оскільки його дія охоплює широкий діапазон рухів – від штучних супутників планет і аж до галактичних об’єктів.

4. Багато задач про рухи тіл під дією змінних сил можуть бути розв’язані наближено з достатньо високою точністю за допомогою чисельного методу, коли застосування аналітичних методів виявляється за різних причин непридатним. Саме тому ми так наполегливо опановували елементи чисельного аналізу.

5. Останнє дослідження (k ¹ 2) показує, що єдиним методом, який дозволяє усунути ускладнення, пов’язані з обмеженим математичним апаратом школярів, є дослідження комп’ютерних моделей на основі чисельних методів.

Дата добавления: 2015-01-03