КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Teopeмa умножения вероятностей
Произведением двух событий А и В называется событие АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий. Произведением нескольких событий А 1, .А2, ...Аn, называется событие А1 А2... Аn, состоящее в совместном появлении этих событий. Найдем вероятность произведения двух событий отдельно для зависимых и независимых событий. Теорема 1. Вероятность Р(АВ) произведения (совмещения) двух независимых случайных событий равна произведению вероятностей этих событий. Доказательство: Проведем доказательство этой теоремы для схемы урн. Пусть в первой урне находится n1 шаров, из которых m1 цветных, во второй n2 шаров, из которых m2 — цветных. Из каждой урны извлекается по одному шару. Какова вероятность того, что оба извлеченных шара будут цветными? Пусть событие А - извлечение цветного шара из первой урны. Событие В — извлечение цветного шара из второй урны. Событие АВ — извлечение двух цветных шаров / по одному из каждой урны/. Согласно классическому определению вероятности, , n1 n2 — общее число возможных случаев извлечения по одному шару из каждой урны (извлечение каждого шара из первой урны сочетается с извлечением n2 шаров из второй урны). M1 m2 — общее число случаев, благоприятствующих появлению красных шаров из обеих урн. Преобразуем выражение для . Итак, теорема доказана. Если имеется n независимых событий А1, А2,...Аn, то аналогичным образом можно доказать справедливость равенства Р (А1А2...Аn) = P ((А1 А2...Аn-1) Аn) = P (A1A2...An-l) P (An)=...= P (A1) P (A2)... P (An). Пример 1.4.1. Осуществляется залп по цели из 3 орудий (или производится три выстрела подряд). Событие А — попадание в цель из первого орудия, событие В — попадание в цель из второго орудия, событие С — попадание в цель из третьего орудия. Пусть вероятности этих попаданий одинаковы и равны:
. Событие ABC — попадание в цель одновременно в трех выстрелах. Вероятность этого события Р (АВС)= Р (А)= Р (В)= Р (С)=0,9 0,9 0,9=0,729. Пример 1.4.2. В урне два шара: цветной и белый. Проводятся повторные n испытаний, в каждом из которых наудачу извлекают шар из урны, (или из n урн) и возвращают его в урну после испытаний. Пусть событие A1 — извлечение белого шара в первом испытании (или из первой урны), А2 — извлечение белого шара во втором испытании (или из второй урны) и т.д. Событие Аn — извлечение белого шара в n -ом испытании (или из n -ой урны). Допустим вероятности этих событий Р (А1)=Р(А2)=....=Р(Аn)=Р. Событие A1A2...An — извлечение белого шара во всех n - испытаниях (или их всех n урн одновременно). Вероятность совмещения событий Р (А1А2...Аn) =Р (А1) Р (А2) ...Р (Аn) =Рn. Пусть события А и В зависимые. Вероятность появления одного из этих событий зависит от появления или непоявления другого. Введем понятие условной вероятности зависимых событий. Условной вероятностью РА(В) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило. Пример 1.4.3. В урне содержится 5 красных и 3 белых шара. Из урны подряд извлекают по шару, не возвращая их в урну. Найти вероятность появления красного шара при втором извлечении (событие В),если при первом извлечении появился белый шар (событие А). Решение: После первого извлечения в урне осталось 7 шаров, из них 5 красных. Искомая условная вероятность . Теорема 2. Вероятность Р(АВ) произведения (совместного появления) двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них Р (В) (или Р(А)) на условную вероятность РВ (А) или РА (В), вычисленную в предположении, что первое событие В (или А) наступило. Доказательство: Доказательство для этой теоремы проведем для схемы урн. Пусть в урне n шаров. Из них m - белых, остальные черные. Из урны извлекаются подряд два шара. Какова вероятность события извлечь подряд два белых шара. Обозначим через АВ ожидаемое событие для нахождения вероятности Р(АВ) и воспользуемся классическим определением понятия вероятности. Полная группа событий состоит из n (n -1) извлечений, поскольку каждое первое из n извлечений шара из урны сочетается с (n -1) вторым извлечением шара из урны. Аналогичное число благоприятствующих извлечений равно m (m- 1). Вероятность искомого события
. Событие В- извлечение белого шара в первом испытании. Вероятность этого события . Событие РВ(А)- извлечение белого шара во втором испытании. Вероятность этого события . Для доказательства теоремы преобразуем выражение . Вставляя в левую часть последнего выражения Р(В) и Р(А) получим: Р(АВ)=Р(В)РВ(А). Итак, теорема доказана. Нетрудно распространить доказательство теоремы на произведение трех зависимых событий АВС. Объединим первые два события (АВ)·С, тогда по предыдущей теореме: Р((АВ)С)=Р(АВ)РАВ(С)=Р(В)РВ(А)-РАВ(С). Таким образом, теорему можно распространить на произвольное число событий Al А2...Аn. Пример 1.4.4. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков — конусный, а второй — эллиптический. Решение: Вероятность того, что первый из взятых валиков окажется конусным (событие А): . Вероятность того, что второй из валиков окажется эллиптическим (событие В), вычисленная в предположении, что первый валик -конусный, т.е. условная вероятность равна . Искомая вероятность по теореме умножения вероятностей зависимых событий равна: . Пример1.4.5. В урне находится 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его в урну. Найти вероятность того, что при первом испытании появляется белый шар (событие А), при втором — черный (событие В) и при третьем — синий (событие С). Решение: Вероятность появления белого шара при первом испытании . Вероятность появления черного шара при втором испытании, вычисленная в предположении, что при первом испытании появляется белый шар, т.е. условная вероятность
. Вероятность появления синего шара при третьем испытании, вычисленная в предположении, что при первом испытании появляется белый шар, а при втором - черный: . Искомая вероятность .
Дата добавления: 2014-12-25; Просмотров: 840; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |