Последовательное соединение звеньев

Непрерывных линейных систем

Структурные схемы, передаточные и частотные функции

Условная схема, представленная в виде динамических типовых звеньев, определённым образом соединённых между собой, называется структурной схемой системы. Структурная схема используется для расчёта динамики системы.

Типовое динамическое звено обозначается на структурной схеме условно в виде прямоугольника с указанием передаточной функции внутри него. Необходимость разветвления и суммирования при осуществлении обратных связей также требует определённого отображения на структурной схеме. При разветвлении сигнала предполагается, что к каждому звену поступает один и тот сигнал. Так как сигнал не обладает массой или энергией, то в месте разветвления он не делится; в этом месте на структурной схеме ставится точка. Суммирование сигналов обозначается кружком с указанием знака сигнала.

Структурную схему составляют на основании функциональной схемы, причём вначале определяют связи, по которым сигналы могут распространяться только в одном (прямом) направлении. Звенья при этом соединяют определённым образом, указывая стрелками направление распространения сигналов. Затем находят связи обратного прохождения сигналов и также наносят их на структурную схему. После этого в схему вводят возмущающие воздействия.

Соединения звеньев бывают трёх видов: последовательное, параллельное согласное и параллельное встречное. Рассмотрим каждый из видов соединения звеньев.

Это такое соединение, когда выходная переменная каждого предыдущего звена является входным воздействием для последующего звена (и только для него одного) (рисунок 3.1).

Рисунок – 3.1 Последовательное соединение

Так как для каждого звена

, (3.1)

то, составив такие уравнения для всех звеньев и исключив из них все промежуточные переменные, кроме входной величины и выходной величины , получаем

. (3.2)

Таким образом, передаточная функция системы последовательно соединённых звеньев

(3.3)

то есть равна произведению передаточных функций отдельных звеньев.

Выражение (3.3) справедливо и для обратных передаточных функций последовательно соединённых звеньев:

. (3.4)

Переходя к АФЧХ и подставляя p=jω, получим:

(3.5)

При этом модули комплексных коэффициентов перемножаются, а аргументы складываются

A(ω) = A₁(ω)·A₂(ω,)·…· А_n(ω),

φ(ω) = φ₁(ω) + φ₂(ω)+ …+ φ_n(ω). (3.6)

При последовательном соединении звеньев логарифмические амплитудно-частотные и фазочастотные характеристики отдельных звеньев складываются:

,

φ(ω) = φ₁(ω) + φ₂(ω)+ …+ φ_n(ω). (3.7)

При последовательном соединении минимально-фазовых звеньев полученная система также будет минимально-фазовой, т.е. её передаточная функция не будет иметь ни нулей, ни полюсов в правой полуплоскости. Действительно, если каждый из сомножителей произведения (3.5) не имеет ни нулей, ни полюсов в правой полуплоскости р, то то же можно сказать и об их произведении. Аналогично можно показать, что если хотя бы одно из последовательно соединённых звеньев неминимально-фазовое или неустойчивое, то и вся система будет неминимальнофазовой или неустойчивой.

Дата добавления: 2014-12-25