Алгебраический критерий устойчивости Гурвица

Критерии устойчивости

Критерии устойчивости – это правило, позволяющее без непосредственного определения корней характеристического уравнения САУ определять их расположение на комплексной плоскости корней.

Такая задача впервые была поставлена Максвеллом в 1868 г. и решена Гауссом в 1873 году. Позднее, в 1895 году по просьбе словацкого профессора Стодолы, занимающегося исследованием процесса регулирования турбины, швейцарским математиком Гурвицем был найден алгебраический критерий устойчивости, который формулирует условия устойчивости в форме определителей (в матричной форме). Несмотря на то, что критерии Гаусса и Гурвица одинаковы по содержанию и отличаются лишь по форме, критерий Гурвица нашёл более широкое применение. Поэтому из этих критериев мы рассматриваем только критерий Гурвица.

Различают два вида критериев:

1. Алгебраические критерии (Гаусса, Гурвица).

2. Частотные критерии (Михайлова, Найквиста).

Пусть дано характеристическое уравнение

(5.11)

Теорема Гурвица гласит: все корни уравнения (5.11) будут иметь отрицательные действительные части тогда и только тогда, когда все диагональные определители главного определителя положительны.

Главный определитель определяется следующим образом:

1. По главной диагонали в порядке возрастания индексов выписываются все коэффициенты от а₁ до а_n.

2. Каждая из строк дополняется влево коэффициентами с убывающими индексами, вправо – с возрастающими.

3. На месте отсутствующих коэффициентов ставятся нули.

. (5.12)

Таким образом, условием устойчивости (отрицательности действительных частей корней) по критерию Гурвица являются:

1. Все коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительны – необходимое условие.

2. Все диагональные определители должны быть положительны – достаточное условие, то есть:

…, (5.13)

Рассмотрим примеры.

Пример 5.1. Установить, устойчива ли система, если характеристическое уравнение её имеет вид:

а) - так как коэффициент а₃ = 0, то есть, не выполнено необходимое условие, то система неустойчива.

б) - - система не устойчива.

Пример 5.2. Определить, при каких k система будет устойчива:

а)

б)Вычисляем диагональные определители

;

итак, система устойчива при .

Область значения параметра, при котором САР устойчива, называют областью устойчивости САР по этому параметру.

Можно показать, что если выполнены все условия критерия Гурвица, кроме одного ( то характеристическое уравнение системы имеет пару сопряженных чисто мнимых корней. Если же выполнены все условия Гурвица, кроме а₀=0, то уравнение имеет один нулевой корень [это следует из непосредственного рассмотрения характеристического уравнения (5.11)]. И в одном, и в другом случаях система находится на границе устойчивости: в первом случае она называется границей колебательной устойчивости, а в другом – апериодической устойчивости.

Существенные недостатки критерия Гурвица:

1. Критерий лишен наглядности, носит формальный характер и ничего не говорит о качестве устойчивости, то есть насколько далека система от границы устойчивости.

2. Коэффициенты или параметры, характеризующие физические свойства звеньев системы, входят зачастую в столь сложных комбинациях, что практически трудно установить, какие именно параметры и каких звеньев следует изменить, чтобы обеспечить устойчивость САР.

3. Необходимо иметь аналитические уравнения звеньев и всей системы, что не всегда удобно.

Дата добавления: 2014-12-25