Суждение об устойчивости на основании критерия Найквиста по логарифмическим частотным характеристикам системы в разомкнутом состоянии

Критерий Найквиста можно использовать и по отношению к логарифмическим частотным характеристикам. Согласно критерию устойчивости Найквиста САУ устойчива, если при

. (5.32)

Если использовать логарифмический масштаб, то это означает, что

. (5.33)

Условие (5.33) можно сформулировать следующим образом.

Если фазо-частотная характеристика системы в разомкнутом состоянии при частоте среза (то есть при частоте, где логарифмическая амплитудно-частотная характеристика пересекает ось абсцисс) не достигает значения , то система в замкнутом состоянии устойчива (рисунок 5.14).

Рисунок 5.14 - Система (а) устойчивая, (б) на грани

устойчивости и (в) неустойчивая

На рисунке 5.14, а показаны запасы устойчивости по фазе и по амплитуде, определённые по логарифмическим характеристикам для устойчивой системы. Для системы, находящейся на грани устойчивости Δφ=0, ΔL=0. Для неустойчивой системы запасов устойчивости не существует.

Критерий Найквиста легко можно сформулировать для логарифмических амплитудно-фазовых характеристик, используя понятия о положительных и отрицательных переходах.

Пример 5.8. Определить устойчивость системы автоматического управления, амплитудно-фазовая характеристика которой в разомкнутом состоянии равна

Построим логарифмические амплитудно-фазовые характеристики (рисунок 5.15).

Из этого примера видно, что если в разомкнутом состоянии имеет второй порядок (не два интегрирующих звена ), то при любых конечных значениях коэффициентов и постоянных времени система в замкнутом состоянии устойчива.

Пример 5.9. Определить устойчивость системы автоматического управления:

Комплексный коэффициент передачи разомкнутой системы равен

Найдём величины, необходимые для построения логарифмических амплитудно-фазовых характеристик

По данным построим ЛАЧХ и ЛФЧХ (рисунок 5.15).

Из рисунка найдём

|Δφ |=180°-166,5°=13,5°,

ΔL= |-0,6|.

Чем меньше ΔL, тем ближе САУ ко границе устойчивости.

По критерию Найквиста система автоматического управления устойчива.

Пример 5.10. Определить устойчивость замкнутой системы, амплитудно-фазовая характеристика которой в разомкнутом состоянии равна

Вычислим параметры, необходимые для построения логарифмической амплитудно-фазовой характеристики

По этим данным построим ЛАЧХ (рисунок 5.16).

Из геометрических соображений найдём частоту среза системы:

От этой частоты отложим 1 дек влево, 1 дек вправо. По характеристике вычислим и

По формуле (1.28) найдём

Вывод: система в замкнутом состоянии устойчива.

Пример 5.11. Определить устойчивость замкнутой системы автоматического управления

Вычислим параметры, необходимые для построения логарифмических частотных характеристик

По найденным данным построим ЛАЧХ и ЛФЧХ (рисунок 5.17).

По рисунку найдём и, и

По формуле (1.28) вычислим φ_Р(ω_С)

Система находится на грани устойчивости. Чтобы она была устойчивой надо понизить.

Вывод: чем больше система в замкнутом состоянии более колебательна или неустойчива.

В статике:

- по возмущению; - по заданию.

Вывод: чем выше k_P, тем точнее в статике. Тем больше Δ х_ЗАД уменьшается.

Дата добавления: 2014-12-25