Умови стійкості лінійних систем автоматичного керування

Лінійні САК описуються лінійним диференціальним рівнянням, розв’язок якого містить дві складові

y(t) = y_з (t) + y_в (t), (6.2)

де y_з(t) - змушена складова, яка залежить від виду правої частини рівняння. Вона визначається як частинний розв’язок неоднорідного рівняння;

y_в(t) - вільна складова, яка визначається загальним розв’язком однорідного диференціального рівняння:

(a_npⁿ + a_n-1p^n-1 + … + a₁p +a₀)y_в(t) = 0. (6.3)

Звичайно цікавляться стійкістю змушеної складової y_з(t) перехідного процесу. Тому за незбурений рух системи приймаємо змушену складову y_з(t). Тоді збуреним рухом буде будь-яка можлива зміна вихідної величини y(t), а відхиленням - вільна складова:

y_в (t) = y (t) - y_з (t). (6.4)

Тоді відповідно до (3.1) система буде асимптотично стійкою, якщо протягом часу при t®¥ вільна складова буде наближатися до нуля, тобто y_в(t)® 0. Значить, для того, щоб вияснити необхідні та достатні умови стійкості, потрібно з’ясувати, за яких умов виконується дана вимога, тобто потрібно розв’язати диференціальне рівняння (3.3).

Цей розв’язок має вигляд:

(6.5)

де C_i - сталі інтегрування;

s_i - корені характеристичного рівняння:

a_nsⁿ + a_n-1s^n-1 + … + a₁s +a₀ = 0. (6.6)

Корені s_i і визначатимуть характер перехідного процесу в системі. У загальному випадку тобто корені рівняння (6.6) можуть бути дійсними, комплексно-спряженими, нульовими.

На комплексній площині ці корені можуть розташовуватись по-різному (рис. 6.2).

Корені з від’ємними дійсними частинами (s₅, s₆, s₇) прийнято називати лівими, оскільки вони лежать у лівій півплощині.

Корені з додатними дійсними частинами (s₁, s₂, s₃) називають правими коренями.

Неважко показати, що для виконання умови необхідно, щоб дійсні частини a_i коренів s_i були від’ємними. Звідси випливають необхідні та достатні умови стійкості лінійних САК.

Для того, щоб лінійна система була стійкою, необхідно та достатньо, щоб усі корені її характеристичного рівняння були лівими.

Дата добавления: 2014-12-25