Характеристичного рівняння

Оцінка якості регулювання за розташуванням коренів

У пункті 9.2 було наведено, що характер перехідного процесу в системі визначають за її перехідною характеристикою, яка може бути обчислена за допомогою оберненого перетворення Лапласа:

h(t) = L^-1{W_з(s)/s} = L^-1{P(s)/[sD(s)]}. (9.9)

З (4.9) видно, що на характер перехідного процесу впливають і чисельник, і знаменник передавальної функції W_з(s) замкнутої системи. Якщо чисельник W_з(s) не має нулів, тобто є постійною величиною, то характер перехідних процесів можна оцінити за її полюсами (за коренями характеристичного рівняння замкнутої системи).

Для наближеної оцінки якості перехідного процесу в системі необхідно на площині коренів s виділити зону, в якій розташовані корені її характеристичного рівняння D(s)=0. Найчастіше цю зону зображують трапецією ABCD, усередині, на сторонах і основах якої розташовано хоч по одному кореню, а за її межами – жодного (рис. 9.8).

Якість перехідного процесу наближено можна оцінити за такими параметрами: ступінь стійкості h, коливальність m, значення a_max дійсної частини кореня, що максимально віддалений від уявної вісі.

Ступінь стійкості h - відстань від уявної вісі до найближчого кореня або найближчої пари комплексних коренів. Ступінь стійкості характеризує граничну швидкодію системи, оскільки величина h належить до складової перехідної характеристики, що згасає повільніше за всі інші. Час перехідного процесу можна приблизно оцінити так: t_рег»3/h, якщо найближчий до уявної вісі корінь є дійсним, і не перевищує цього значення, якщо найближчою до неї є пара комплексних коренів.

Таким чином, чим менше значення h, тим повільніше згасає перехідний процес, тим більше час регулювання. Причому, якщо найближчий до уявної вісі корінь є дійсним, ступінь стійкості називається аперіодичним, і домінуючою складовою перехідного процесу буде експонента e^-ht. Якщо це пара комплексних коренів, ступінь стійкості називається коливальним, і домінуючою буде коливальна складова, що згасає також за експоненціальним законом.

Коливальність системи m - тангенс кута, що утворений від’ємною дійсною піввіссю і променем з початку координат до кореня, в якого відношення уявної частини до дійсної є максимальним:

m = tg j =(b/a)_max, (9.10)

де a - значення дійсної частини коренів D(s); b - уявна частина.

Величина m повинна обмежуватися відповідно до вимог зменшення високочастотних коливань. При збільшенні m зростає перерегулювання s і кількість коливань N за час регулювання.

Звичайно у автоматичних системах m £ 2,72 ¸ 1,57. При m=0 корені тільки дійсні й процес є аперіодичним.

При дослідженні якості перехідного процесу за розташуванням коренів характеристичного рівняння можна вирішувати дві задачі:

- за заданими параметрами системи – коефіцієнтами D(s) – визначити ступінь стійкості h, коливальність m, а також величину a_max – максимальне віддалення кореня від уявної вісі;

- за заданими h, m, a_max визначити значення параметрів системи.

Якщо чисельник P(s) передавальної функції W_з(s) замкнутої системи є поліномом змінної s, оцінка якості регулювання тільки за полюсами цієї функції може привести до суттєвих помилок, тому необхідно розглядати також розташування на комплексній площині коренів чисельника, тобто нулів передавальної функції. Зміна взаємного розташування нулів і полюсів передавальної функції W_з(s) впливає на показники якості перехідного процесу. Дослідження цього питання виявили такі залежності.

- наявність нулів сприяє збільшенню перерегулювання s і зменшенню часу перехідного процесу;

- якщо нулі W_з(s) розташовані поблизу її полюса, найближчого до уявної вісі, коливальність перехідного процесу зменшується, а при віддаленні нулів від цього полюса коливальність зростає.

Дата добавления: 2014-12-25