Решение. и потребуем выполнения неравенства (5):

Решение.

Определим »0,028

и потребуем выполнения неравенства (5):

0,028 £ w × 10^-n+1.

Решив это неравенство, получим

n £ 2 при w = 1 и w = 0,5.

Таким образом, у приближенного числа по крайней мере два верных знака в широком и узком смысле. Про остальные цифры мы не можем сказать, верные они или нет.

Задача 4.

Со сколькими верными знаками в широком(узком) смысле следует вычислить = 4,…, чтобы

а) абсолютная погрешность не превышала 0,007;

б) относительная погрешность не превышала 1%?

а) Если у приближенного числа будет n верных знаков в смысле w, то его абсолютная погрешность не будет превышать w × 10 m-n+1. Поэтому n следует выбрать таким, чтобы выполнялось неравенство:

w× 10 m-n+1 £ e,

принимающее для данной задачи следующий вид:

w× 10 -n+1 £ 0,007.

Решая его при w = 1, получаем n ³ 4, а при w = 0,5 - n .

Следовательно, для того, чтобы абсолютная погрешность приближенного числа не превышала 0,007, необходимо взять не менее четырех верных знаков в широком смысле: 4,582 (или трех верных знаков в узком смысле: 4,58).

б) Если у приближенного числа будет n верных знаков в смысле w, то его относительная погрешность не будет превышать . Поэтому n следует выбрать таким, чтобы выполнялось неравенство:

,

принимающее для данной задачи следующий вид:

.

Решая его при w = 1 и w = 0,5, получаем один и тот же результат:

n ³3. Следовательно, для того, чтобы относительная погрешность приближенного значения не превышала 1%, необходимо взять не менее трех верных знаков в широком и узком смысле: 4,58.

Задача 5.

Вычислить значение и оценить абсолютную погрешность результата, взяв приближенные значения аргументов с четырьмя верными знаками.

Решение. В формулу для вычисления y входят три приближенных аргумента: x₁ = , x₂ = p, x₃ = e. Bозьмем их значения с четырьмя верными знаками.

x₁ = 2,236; x₂ = 3,142; x₃ = 2,718

D x₁ = D x₂ = D 0,0005.

Вычислим приближенное значение функции

.

Согласно (8)

D y = b₁ D x₁ + b₂ D x₂+ b₃ D x₃ , где

и, следовательно,

D y = (0,1924 + 0,0724 + 2,4730) × 0,0005 = 0,00137.

Итак, результат y =5,513216 имеет абсолютную погрешность D y =0,00137, т.е. три верных знака.

Задача 6.

С каким числом верных знаков следует взять значения аргументов функции чтобы вычисленное значение этой функции имело 4 верных знака?

Решение. Исходя из приближенных значений x₃ = e =2,7, определим приближенные значения функции и ее частных производных.

;

Абсолютная погрешность величины y удовлетворяет неравенству (5):

Используя предположение о равенстве абсолютных погрешностей аргументов, имеем, согласно (16):

Таким образом, каждый из приближенных аргументов следует взять с пятью верными знаками.

Задача 7.

Вычислить значение функции и оценить абсолютную погрешность результата, взяв значения аргументов с четырьмя верными знаками.

Решение. В формулу для вычисления y входят четыре аргумента: Их приближенные значения с четырьмя верными знаками: x₁= 2,718; x₂ = 2,222; x₃ = 3,142; x₄ = 0,3640; D x₁= D x₂= D x = 0,0005;D x₄= 0,00005.

Представим функцию y как сумму двух функций:

y= y ₁ + y ₂,

где

.

Вычислим приближенные значения этих функций

y ₃ = sin 2,222 = 0,7954;

y ₂= lg 0,3640= - 0,4389;

y = y₁ + y₂ = -0,3061.

Согласно (8)

Абсолютную погрешность D y₁ выразим через относительную

D y₁ = d y₁× ½ y₁ ½,

а для вычисления d y₁ удобно воспользоваться равенствами (10), (12), (13):

d y₁= 1/2 × 0,000184 + 0,000381 + 2 × 0,000159 = 0,000791;

= 0,1328 × 0,000791 = 0,000105.

Согласно (9) имеем

D y= D y₁ + D y₂ = 0,000105 +0,000060 = 0,000165.

Таким образом, приближенное значение y = - 0,3061 имеет три верных знака.

Задача 8.

С каким числом верных знаков следует взять значения аргументов функции , чтобы вычисленное значение функции имелo три верных знака?

Решение. Положим, как в задаче 7, x1 = e, x2 = , x3 = p,

x4 = tg 20°; y = y1+y2; ; y2 = lg x4; y3 = sin x2. Взяв предварительно приближенные аргументы с двумя верными знаками: x1 = 2,7; x2 = 2,2; x3 = 3,1;

x4 = 0,36, вычислим приближенные значения функций:

y3 = sin 2,2 = 0,79

y2 = lg 0,36 = -0,44

y = y1 + y2 = 0,13 - 0,44 = -0,31.

По условию (5)

.

Воспользовавшись (9) имеем

D y = D y1 +D y2 £ 0,0005

откуда, предполагая, что D y1 = D y2 получим согласно (8)

и D x4 £ 0,00025 × ln 10 × x4 = 0,00025 ×2,303 × 0,35 = 0,00020.

Вычислим теперь предельно допустимое значение для относительной погрешности d y1. Т.к. , а D y1 £ 0,00025,

то d y1 £ 0,00025/½ y1 ½= 0,00025/0,13 = 0,0019.

Согласно (10)

d y1 = 0,5d x1 +d y3 +2d x3 £ 0,0019.

Предполагая, что d x1 = d y3 = d x3, получим

d x1 = d y3 = d x3 £ 0,0019/3,5 = 0,00054.

Для x1 имеем

D x1 = d x1 × | x1 | £ 0,00054× 2,7 = 0,0014...

Для y3 = sin x2

D y3 = d y3 × | y3 | £ 0,00054× 0,79 = 0,00042...

но D y3 = | cos x2 | × | x2 |,

откуда

Для x3 -

D x3 = d x3 × | x3 | £ 0,00054× 3,1 = 0,0016...

Итак, получили: D x1 £ 0,0014...;D x2 £ 0,00071...;D x3 £ 0,0016...; D x4 £ 0,00020...; откуда следует, что значения всех аргументов необходимо взять с четырьмя верными знаками.

А1. Прямая задача теории погрешностей.

Вычислить значение выражения, беря значения аргументов с четырьмя верными знаками. Оценить погрешность результата.

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. ;

15. ; 16. ;

17. ; 18. ;

19. ;

20. ; 21. ;

22. ; 23. ;

24. ; 25. .

Задача Б.

Задача 1.

Пользуясь известными значениями функциями в точках х=14,16,19,21, вычислить и оценить погрешность.

Решение.

В качестве интерполяционного полинома выбираем полином Лагранжа, так как узлы интерполирования не являются равноотстоящими.

Используя формулу (8), определяем множители Лагранжа:

, , ,

Замечание. Отметим свойство множителей Лагранжа: . Для того, чтобы найти значение функции с максимальной точностью,необходимо определить, с какой точностью следует брать значения функции в узлах, для этого определим погрешность метода, используя формулу (4):

.

Находим

,

.

Далее вычисляем минимально возможную полную погрешность результата; имеем:

.

Теперь осталось определить вычислительную погрешность:

;

учитывая формулу (9) и предполагая, что все значения функции имеют одинаковую точность , имеем:

.

То есть значения функции в узлах берем с 5 знаками после запятой.

Записав далее таблицу исходных значений с требуемой точностью, вычисляем конечный результат:

xi
f(xi)	3,74166	4,00000	4,35890	4,58258

Ответ: √15=3,87294 0,0001.

Задача 2.

Составить соответствующие интерполяционные полиномы и вычислить в точках x^*₁=0,63 и x^*₂=1,35 значения функции f(x)=3^x, заданной в виде следующей таблицы, содержащей значения y_i с четырьмя верными в широком смысле знаками.

xi	0,50	0,75	1,00	1,25	1,50
yi	1,732	2,280	3,000	3,948	5,196

Оценить погрешность результата.

Решение. Дополним заданную таблицу значениями конечных разностей:

x_i y_i

0,50 1,732

0,548

0,75 2,280 0,172

0,720 0,056

1,00 3,000 0,228 0,016

0,948 0,072

1,25 3,948 0,300

1,248

1,50 5,196

Так как значение x^*₁=0,63 расположено в начале таблицы, а x^*₂=1,35 - в конце ее, то для вычисления значения f(x^*₁) следует использовать первый, а для вычисления значения f(x^*₂) - второй интерполяционные полиномы Ньютона.

Отметим, что конечная разность четвертого порядка приближенно равна своей погрешности. Поэтому функцию y=3^x с точки зрения вычислительной погрешности нецелесообразно аппроксимировать полиномом степени выше третьей, и, следуя формулам (22) и (24), имеем:

Вычислим значения t^*₁ и t^*₂.

Таким образом, получим:

Оценим погрешности по формулам (23) и (25):

Учитывая, что все приведенные знаки у функции y=3^x верны в широком смысле, имеем:

Поэтому вычислительные погрешности суть:

Округлим полученные результаты до четырех знаков.

Погрешности округления равны соответственно:

Суммируя погрешность метода, вычислительную погрешность и погрешность округления, получаем:

Заметим, что остаточные погрешности в данной задаче можно оценить с помощью конечных разностей. Для значения N₃^I(t₁^*) эта оценка имеет вид

а для значения N₃^II(t₂^*) -

.

Задача 3.

Функция f(x) задана таблицей своих значений, верных в написанных знаках.

xi	0, 0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
yi	1,8221	2,0138	2,2255	2,4596	2,7183

xi	1,1	1,2
yi	3,0042	3,3201

Используя соответствующий интерполяционный полином, вычислить значения функции в точках x₁^*=0,85 и x₂^*=0,98. Оценить погрешности результатов.

Дата добавления: 2014-12-25