Механічне застосування визначеного інтеграла. Робота змінної сили

Нехай матеріальна точка переміщується вздовж осі під дією змінної сили , направленої паралельно цій осі. Робота, виконана силою при переміщенні точки з положення в положення , , знаходиться по формулі

(9.7.10)

Приклад 9.7.10. Яку роботу потрібно затратити, щоб розтягнути пружину на 0,05 м, якщо сила 100 H розтягує пружину на 0,01 м?

○ За законом Гука пружна сила, що розтягує пружину, пропорційна видовженню , тобто , де —коефіцієнт пропорційності. Згідно з умовою задачі, сила розтягує пружину на м; отже, , звідси ; отже, .

Шукана робота за формулою (9.7.10) дорівнює

(Дж). ●

Приклад 9.7.11. Знайти роботу, яку необхідно затратити, щоб викачати через край рідину з вертикального циліндрового резервуару висоти м і радіусом основи м.

○ Робота, затрачена на підняття тіла вагою на висоту , дорівнює . Але різні шари рідини в резервуарі знаходяться на різних глибинах і висота підняття (до краю резервуару) різних шарів не однакова.

Для розв’язку поставленої задачі застосуємо другу схему (метод диференціала). Введемо систему координат так, як показано на рис. 193.

(рис.193)

1. Робота, затрачена на викачування з резервуару шару рідини товщиною

, є функція від , тобто , де .

2. Знаходимо головну частину приросту при зміні на величину ,

тобто знаходимо диференціал функції .

Зважаючи на невеликий вважаємо, що «елементарний» шар рідини знаходиться на одній глибині (від краю резервуару) (див. рис. 193). Тоді , де — вага цього шару; він дорівнює , де — прискорення вільного падіння, — густина рідини, — об’єм «елементарного» шару рідини (на рис. він виділений), тобто . Об'єм вказаного шару рідини, очевидно, дорівнює , де —висота циліндра (шару), — площа його основи, тобто .

Таким чином, і .

3. Інтегруючи отриману рівність в межах від до , знайдемо, що

(Дж).

!!!!!!!!!!!!!!(дальше норм)

Дата добавления: 2014-12-26