Свойства (четность, периодичность, монотонность, ограниченность) и графики функций

Функция, область ее определения и способы задания. Сложные и обратные функции.

ФУНКЦИЯ - соответствие y = f (x) между переменными величинами, в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторой величины x (аргумента, или независимого переменного) соответствует определенное значение другой величины y (зависимой переменной, или функции).

Переменная y называется функцией переменной x, если каждому допустимому значению х соответствует определенное значение y.

Символически функциональная зависимость между переменной y (функцией) и переменной х (аргументом) записывается с помощью равенства y = f(x), где f обозначает совокупность действий, которые надо произвести над х, чтобы получить y.

Областью определения (существования) функции D(y) называется множество всех действительных значений аргумента х (множество всех точек числовой оси), при которых она имеет действительное значение.

Для задания функции необходимо и достаточно знать закон соответствия f, по которому для каждого значения аргумента можно указать единственное значение функции и область определения D(y).

Способы задания функций

Функция может быть задана:

Аналитически (формулой): зависимость между аргументом и функцией задается в виде математической формулы. В этой формуле указаны действия, которые нужно произвести над значением аргумента, чтобы получить соответствующее значение функции.

Таблицей: значения аргумента и соответствующие им значения функции записаны в виде таблицы.

Графиком: совокупность точек плоскости, абсциссы которых являются значениями независимой переменной, а ординаты – соответствующими значениями функции, называется графиком данной функции.

Сложная функция.

Пусть функция определена на множестве , а функция на множестве , причем для соответствующее значение . Тогда на множестве определена функция , которая называется сложной функцией от (или суперпозицией заданных функций, или функцией от функции).

Переменную называют промежуточным аргументом сложной функции.

Например, функция есть суперпозиция двух функций и . Сложная функция может иметь несколько промежуточных аргументов.

Обратная функция.

Пусть задана функция с областью определения и множеством значений Е. если каждому значению соответствует единственное значение , то определена функция с областью определения Е и множеством значений . Такая функция называется обратной к функции и записывается в следующем виде: . Про функции и говорят, что они являются взаимно обратными. Чтобы найти функцию , обратную к функции , достаточно решить уравнение относительно (если это возможно).

Пример. Для функции обратной функцией является функция ;

Пример. Для функции , обратной функцией является ; заметим, что для функции заданной на отрезке , обратной не существует, т.к. одному значению соответствует два значения .

Из определения обратной функции вытекает, что функция имеет обратную тогда и только тогда, когда функция задает взаимно однозначное соответствие между множествами и Е. отсюда следует, что любая строго монотонная функция имеет обратную. При этом если функция возрастает (убывает), то обратная функция также возрастает (убывает).

Заметим, что функция и обратная ей изображаются одной и той же кривой, т.е. графики их совпадают. Если же условиться, что, как обычно, независимую переменную (т.е. аргумент) обозначить через , а зависимую переменную через , то функция обратная функции запишется в виде .

Графики взаимно обратных функций и симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

1. Функция , определенная на множестве , называется четной, если выполняются условия и нечетной, если выполняются условия и .

График четной функции симметричен относительно оси , а нечетной – относительно начала координат.

Например, четные функции; а нечетные функции; функции общего вида, т.е. не четные и не нечетные.

2. Функция , определенная на множестве , называется периодической на этом множестве, если существует такое число , что при каждом значение и При этом число называется периодом функции. Если - период функции, то ее периодами будут также числа , где Так, для периодами будут числа Основной период (наименьший положительный) – это период . Вообще обычно за основной период берут наименьшее положительное число , удовлетворяющее равенству

3. Функция y=f(x) называется возрастающей на некотором интервале если для любых х из этого интервала большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. при имеет место неравенство f(x1)<f(x2).

Функция y=f(x) называется невозрастающей, если на некотором интервале имеет место неравенство f(x1)≥f(x2).

Функцияy=f(x) называется убывающей на некотором интервале, если для любых х из этого интервала большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т.е. при имеет место неравенство f(x1)>f(x2).

Функция y=f(x) называется неубывающей, если на некотором интервале имеет место неравенство f(x1)≤f(x2).

Функции только убывающие или только возрастающие называются монотонными.

4. Функцию , определенную на множестве , называют ограниченной на этом множестве, если существует такое число , что для всех выполняется неравенство (короткая запись: , , называется ограниченной на , если ). Отсюда следует, что график ограниченной функции лежит между прямыми и .

Дата добавления: 2014-12-26