Определенный интеграл. Для интегрирования многих функций применяют метод замены переменной, или подстановки, позволяющий приводить интегралы к табличной форме

Для интегрирования многих функций применяют метод замены переменной, или подстановки, позволяющий приводить интегралы к табличной форме.

Например:

1) ;

2) .

Формула интегрирования по частям:

ò udv = uv - ò vdu.

Пусть, например, требуется найти ò x cosx dx. Положим u = x, dv = cos x dx, так что du=dx, v=sinx. Тогда

ò x cos x dx = ò x d(sin x) = x sin x - ò sin x dx = x sin x + cos x + C.

Правило интегрирования по частям имеет более ограниченную область применения, чем замена переменной. Но есть целые классы интегралов, например,

ò x^k ln^mx dx, ò x^k sin bx dx, ò x^k cos bx dx, ò x^k e ^ax dx

и другие, которые вычисляются именно с помощью интегрирования по частям.

Понятие определенного интеграла вводится следующим образом. Пусть на отрезке [a, b] определена функция f(x). Разобьем отрезок [a, b] на n частей точками a = x₀ < x₁ <...<x_n = b. Из каждого интервала (x_i-1, x_i) возьмем произвольную точку x_i и составим сумму f(x_i)D x_i, где
D x_i = x_i - x_i-1. Сумма вида f(x_i)D x_i называется интегральной суммой, а ее предел при l = max D x_i ®0, если он существует и конечен, называется определенным интегралом функции f(x) от a до b и обозначается:

f(x_i)D x_i. (8.5)

Функция f(x) в этом случае называется интегрируемой на отрезке
[a, b],числа a и b носят название нижнего и верхнего предела интеграла.

Для определенного интеграла справедливы следующие свойства:

1) ;

2) ;

3) - ;

4) , (k = const, kÎ R);

5) ;

6) ;

7) f(x)(b-a) (xÎ[a,b]).

Последнее свойство называется теоремой о среднем значении.

Пусть f(x) непрерывна на [a, b]. Тогда на этом отрезке существует неопределенный интеграл

ò f(x) dx = F(x) + C

и имеет место формула Ньютона-Лейбница, связывающая определенный интеграл с неопределенным:

Дата добавления: 2014-12-26