Поиск экстремума функции двух переменных

Поиск экстремума функции одной переменной.

Точка х₀наз-ся точкой минимума ф-ии f(x), если в некоторой окрестности точки х₀ выполняется неравенство f(x)≥f(x₀)

Точка х₁ наз-ся точкой максимума ф-ии f(x).если в некоторой окрестности точки х₁, вып-ся неравенство f(x)≤f(x₁)

Значение ф-ии в точках х₀ и х₁ наз-ся соответственно максимумом и минимумом ф-ии. Максимум и минимум ф-ии объедини-ся общим названием экстремума ф-ии.

Необходимое и достаточное условие экстремума

Т. (ноебх.усл.экстр.) Для того чтобы фун-ия y=f(x)имела экстремум в точке х₀,необходимо, чтобы её производная в этой точке ровнялась нулю (f`(x₀)=0) или не существовала.

Точки в которых выполнено необходимое условие экс-ма,т.е. производная равна нулю или не существует, наз-ся стационарными. Обращаем внимание на то что эти точки должны входить в область определения ф-ии.

Т2. (достаточн.усл.сущ.экстр) Если при переходе через точку х₀, производная дифференцируемой ф-ии меняет свой знак с плюса на минус, то точка х₀, есть точка максимума ф-ии y=f(x), а если с минуса на плюс, то точка минимума ф-ии.

Схема исследования ф-ии на экстремум:

1. Найти производную

2. Найти стационарные точки ф-ии, в кот-х производная f`(х)=0 или не сущ-ет.

3. Исследовать знак производной слева и справа от каж-й стац-й точки и сделать вывод о наличии экстремумов ф-ии.

4. Найти экстремумы (экстемальные знач-я) ф-ии.

Точка М₀ (х₀;у₀) наз-ся точкой максимума (минимума) ф-ии z=f(х;у) если сущ-ет окрестность точки М такая, что для всех точек (х;у) из этой окрестности выполняется нер-во: f(x₀;y₀)≥ f(х;у); f(x₀;y₀)≤ f(х;у)

Т.(необх.усл.экстр.) Пусть точка М₀ (х₀;у₀) – есть точка экстремума, дифференцируемой ф-ии z=f(х;у). Тогда частные производные z_x и z_y в этой точке равны нулю

Если частные производные и сами яв-ся дифференцируемыми фун-ми то можно найти такие и их частные производные,которые наз-ся частными производными второго порядка (f`xx, f`xy, f`yx, f`yy)

Т. (достат.усл.экстр.) Пусть ф-ия z=f(x;y):

1. Определена в некоторой окрестности стационарной точки (x₀;y₀) в которой z`<sub>x</sub>=0 и z`_y=0

2. Имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка f`_xx (x₀; y₀) = A,

f`<sub>xy</sub>(x<sub>0</sub>; y<sub>0</sub>) = f`_yx(x₀; y₀) = B и f`_yy(x₀; y₀) =C

Тогда если =АС-В²˃0, то в точке (x₀; y₀) ф-ия имеет экстремум, причём если А<0 – максимум, если А˃0 – минимум. В случае =АС-В²<0 ф-ия экстремума не имеет.

Если = АС-В²=0, то вопрос о наличии экстремума остается открытым.

Схема исследования ф-ий двух переменных на наличие экстремума:

1. Найти частные производные z`<sub>x</sub> и z`_y

2. Решить систему уравнений z`<sub>x</sub>=0 и z`_y=0 и найти стационарные точки ф-ии.

3. Найти частные производные второго порядка, вычислить их значение в каждой стационарной точек и с помощью достаточного условия сделать вывод о наличии экстремумов

Дата добавления: 2015-04-24