Закон распределения случайной величины

Дискретные и непрерывные случайные величины.

Понятие «случайные величины»

Случайной величиной называется пе­ременная величина, которая в зависимости от исхода испытания случайно принимает одно значение из множества возможных зна­чений.

Примеры.

1) Число очков, выпавших при однократном бро­сании игральной кости, есть случайная величина, она может при­нять одно из значений: 1, 2, 3, 4, 5, 6;

2) прирост веса домашнего животного за месяц есть случайная величина, которая может принять значение из некоторого число­вого промежутка;

3) число родившихся мальчиков среди пяти новорожденных есть случайная величина, которая может принять значения 0,1,2, 3, 4, 5.

Случайные величины будем обозначать прописными буквами X, Y, Z, а их возможные значения — соответствующими строчны­ми буквами х, у, z. Например, если случайная величина X имеет три возможных значения, то они будут обозначены так: x_1,x₂,x₃.

Случайная величина, принимающая различные значения, которые можно записать в виде конечной или бесконечной последовательности, называется дискретной случай­ной величиной.

Случайные величины из примеров 1 и 3 дискретные.

Случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого числового промежутка, на­зывается непрерывной случайной величиной.

Случайная величина из примера 2 является непрерывной.

В отличие от неслучайных (детерминированных) величин для случайной величины нельзя предсказать точно, какое она примет значение в определенных условиях, можно только указать закон распределения этой случайной величины.

Закон распределения считается заданным, если известны:

· множество возможных значений случайной величины;

· способ количественного определения вероятности попадания случайной величины в произвольную область этого множества.

Пусть на плоскость бросают два тела, имеющие форму тетраэдра, грани которого занумерованы числами 1, 2, 3, 4. Допустим, что для каждого тетраэдра вероятность упасть на любую грань равна 1/4. В этом случае, если бросания тетраэдров выполняются независимо, то вероятность получить, например, результат (2,4), т. е. вероятность того, что первый тетраэдр упадет на грань 2, второй - на грань 4, равна (1/4)(1/4) = 1/16. Аналогично вычисляются и вероятности других исходов, так что каждый из 16 элементарных исходов имеет вероятность 1/16. На этом же пространстве элементарных исходов определим некоторую величину У, которая будет называться случайной величиной и значения которой у представляют собой суммы чисел, стоящих на нижних гранях тетраэдра.

(1,1)=2 (1,2)=3 (1,3)=4 (1,4)=5

(2,1)=3 (2,2)=4 (2,3)=5 (2,4)=6

(3,1)=4 (3,2)=5 (3,3)=6 (3,4)=7

(4,1)=5 (4,2)=6 (4,3)=7 (4,4)=8

Используя данные этой таблицы, легко получить распределение вероятностей f(y) случайной величины y.

Y	2	3	4	5	6	7	8
p(y)	1/16	2/16	3/16	4/16	3/16	2/16	1/16
Элементарные исходы и соответствующие значения y	График функции распределения

Функция F(x) = р(Х < х), определенная на множестве всех веще­ственных чисел х и задающая вероятность того, что случайная величина X не превзой­дет х, называется функцией распределения

Если X — случайная величина, то каково бы ни было вещественное число х, существует функция f(x) = р(Х = х), задающая вероятность того, что X принимает значение х. Эта функция определяет распределение частот и носит название плотности вероятности.

Функция распределения непрерывной случайной величины связана с плотностью вероятности следующим отношением:

Для дискретных случайных величин плотность распределения определяется набором вероятностей для отдельных дискретных значений в пространстве элементарных событий.

Дата добавления: 2015-04-24