КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Уравнение в полных дифференциалах
Любое дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно старшей производной, можно записать в виде . Если выполнено соотношение , то уравнение называется уравнением в полных дифференциалах. Причину такого названия понять легко. Пусть - функция двух переменных, дифференцируемая и имеющая непрерывные вторые частные производные по своим переменным. Тогда . Если обозначить , то исходное уравнение можно записать в виде полного дифференциала , а соотношение как раз и означает равенство смешанных производных . Поэтому решить уравнение в полных дифференциалах – означает найти функцию (она называется потенциалом). Так как на решениях дифференциального уравнения, то потенциал будет первым интегралом исходного дифференциального уравнения: Для решения уравнения в полных дифференциалах можно использовать два способа. 1) , + . Здесь интегрирование ведется «частным образом»: только по переменной x, считая y константой или только по y, считая x константой. Сравнивая оба выражения для , находим функции и константы. Если какой-либо из интегралов, например, не берется или его вычислить сложно, то можно найти + . Затем, дифференцируя частным образом по x, надо сравнить с и определить функции и константы. 2) Потенциал можно определять по формуле (она будет выведена из независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования позже, в 3 семестре) . .
Пример. . Решим уравнение первым способом. Так как , то это – уравнение в полных дифференциалах. , . Сравнивая оба равенства, видим, что , поэтому . Соотношение - это первый интеграл заданного дифференциального уравнения.
Решим уравнение вторым способом.
. Здесь принято .
Дата добавления: 2015-04-24; Просмотров: 379; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |