Решение. Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений

Система имеет единственное решение х₀=-1,у₀=3. Делаем замену х=-1, у=+3.

Тогда уравнение примет вид

(+)d+(-)d=0.

Это уравнение является однородным. Полагая =u, получаем

(+u)d+(-u)(du+ud)=0.

Откуда

(1+2u-u²)d+(1-u)du=0.

Разделяем переменные

Интегрируя, найдем

или

Возвращаемся к переменным х и у:

3₀. Решить уравнение (x²y²-1)dy+2xy³dx=0.

Решение. Делаем подстановку , ,где  – пока неопределенное число, которое мы выберем позже. Подставляя в уравнение выражения для у и dy, получим

.

Полученное уравнение будет, возможно, однородным, если функция будет однородной, т.е. если 2+2=0 или =-1. Заменяя в уравнении  на -1, получаем .

или

Положим теперь z=ux, dz=udx+xdu. Тогда это уравнение примет вид

(u²-1)(udx+xdu)+2udx=0,

откуда

u(u²+1)dx+x(u²-1)du=0.

Разделяя переменные, получим

Интегрируя, найдем

или

Заменяя u через , получаем общий интеграл данного уравнения

3₀. Кривая проходит через точку (1,1). Расстояние до любой касательной к этой кривой от начала координат равно абсциссе точки касания. Составить уравнение указанной кривой.

Решение. Пусть точка (х,у) лежит на указанной кривой у=у(х). Касательная к этой кривой, проведенная в точке (х,у), находится от начала координат на расстоянии

которое по условию задачи равно х. Поэтому указанная кривая является решением уравнения

,

или

т.е.

Это однородное уравнение. Решим его, полагая y=xu:

Согласно замене , получим y²+x²=Cx. По условию кривая проходит через точку (1,1): 1+1=С, т.е. С=2. Таким образом, уравнение искомой кривой x²+y²=2x, или

D. Ответы.

Дата добавления: 2015-04-25