Особенности фазовых портретов

Допустим имеем систему второго порядка, описываемую системой ДУ

, после деления второго уравнения на первое

Если функция ограничена однозначно в определенной области, то по теореме Коши имеется единственное решение этого уравнения.

Это означает:

1) Через данную точку фазовой плоскости проходит одна единственная траектория и фазовая траектория нигде не пересекается.

2)Если , то существуют особые точки, для которых - неопределена. В этих точках, фазовые траектории могут пересекаться. В этих точках не существует определенных направлений касательной к траектории, т.е. в этой точке фазовые траектории сходятся или исходят из нее.

Устойчивость особых точек

Особая точка изображает устойчивое состояние равновесия, если все фазовые траектории к ней сходятся.

3)На каждой фазовой траектории можно указать стрелкой направление движения изображающей точки на ней.

Если x₂ > 0, то x₁ всегда возрастает, а если x₂ < 0, то x₁ всегда убывает, т.е. при возрастании времени движения в верхней полуплоскости слева направо, в нижней – справа налево.

4)В точках пересечения фазовых траекторий с осью абсцисс, касательная к ним перпендикулярна (при y=0 dy/dx=oo. x(t) достигает экстремума).

5)Если фазовые траектории на плоскости стягиваются к некоторой замкнутой кривой, то в такой системе будут автоколебания, поскольку в установившемся режиме координата системы и ее производная (скорость) будут периодически изменяться. Замкнутый цикл, к которому стягиваются траектории, называется предельным циклом.

Устойчивость автоколебательных режимов.

Предельный цикл является устойчивым (автоколебания устойчивы), если фазовые траектории x₂

снаружи и и внутри наматываются на него (стремятся к нему).

Если фазовые траектории снаружи и внутри расходятся от предельного цикла, то он неустойчив (автоколебания неустойчивы).

6.Фазовый портрет релейных систем имеет линии переключения. Линии переключения – это геометрическое место точек фазового пространства, в котором происходит переключение релейного элемента.

За счет введения в систему гибкой обратной связи (дифференцирующей) происходит поворот линий переключения на определенный угол, зависящий от величины коэффициента обратной связи. В этом случае в релейных системах возможна разновидность переходного процесса, называемая скользящим режимом, причем при этом повышается быстродействие (уменьшается время регулирования), исключаются автоколебания Гибкая обратная связь действует только в переходном режиме. Жесткая обратная связь действует в переходном и установившемся режиме.

Гибкая обратня связь действует более эффективно, чем жесткая.

Дата добавления: 2015-04-29