Последовательность вещественных чисел. Предел последовательности. Определение и основные свойства

Если каждому числу n натурального ряда чисел 1,2…n ставится в соответствии по определенному закону некоторое вещественное число , то множество занумерованы чисел называется числовой последовательностью.

- элемент, член последовательности.

Опр. Последовательность { }, называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое вещественное М, что каждый , удовлетворяет

Опр. Последовательность { } называется бесконечно большое, ели для любого положительно А можно, указать номер N такое, что при n≥N все элементы { } этой последовательности удовлетворяют неравенству | | > A

Опр. Последовательность { } называется бесконечно малой, если для любого положительного числа ε можно указать номер N такой, что при n≥N все элементы удовлетворяет неравенству | |<ε

Т.3.1. Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Т.3.2. Разность двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Следствие: Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей – бесконечно малая последовательность.

Т.3.3. Бесконечно малая последовательность ограничена.

Т.3.4. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность представляет собой бесконечно малую последовательность.

Следствие: произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей представляет собой бесконечно малую последовательность.

Т.3.5. Если все элементы бесконечно малой последовательности { } равны одному и тому же числу , то с=0.

Т.3.6. Если - бесконечно большая последовательность, то, начиная с некоторого номера n, определена последовательность { }, которая является бесконечно малой. Если все элементы бесконечно малой последовательности }≠0, то последовательность { } бесконечно большая.

Опр. Последовательность называется сходящийся если существует такое а, что последовательность является бесконечно малой.

а – предел функции.

Т.3.7. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Т.3.8. Сходящаяся последовательность ограничена.

Т.3.9. Сумма сходящихся последовательностей { } и { } есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме пределов { } и { }.

Т.3.10. Разность сходящихся последовательностей { } и { } есть сходящаяся последовательность, предел которой равен разности пределов { } и { }.

Т.3.11. Произведение сходящихся последовательностей { } и { } есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей { } и { }

Лемма 1. Если последовательность { } сходится и имеет отличный от нуля предел b, то, начиная с некоторого номера, предел последовательности { }, которая является ограниченной.

Т.3.12. Если элемент сходящихся последовательности { }, начиная с некоторого номера удовлетворяющего неравенству { }≠0 есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов { } и { }.

Т.3.13. Если, элементы сходящихся последовательности { }, начиная с некоторого номера удовлетворяющего неравенству { }≥b ({ }≤b), то и предел а этой последовательность удовлетворяет неравенству a≥b(b≤a).

Следствие 1. Если элементы и сходящиеся последовательности } и { }, начиная с некоторого номера, удовлетворяющего неравенству , то их пределы удовлетворяют такому же неравенству:

Следствие 2.Если все элементы сходящийся последовательности находятся на [a,b] то и предел с также находится на этом сегменте.

Т.3.14. Пусть { } и { } - сходящиеся последовательности, имеющие общий предел а. Пусть кроме того начиная с некоторого номера, элементы последовательности { } удовлетворяют неравенству . Тогда последовательность сходится и имеет предел ноль.

Дата добавления: 2015-03-29