II. Решение задачи с ограничениями

I. Решение задачи без ограничений на U.

Составляем функцию Гамильтона :

,

т.к , то .

Для оптимальности управления требуется, чтобы доставляло максимум . Определяем экстремум по :

, т.е. доставляет максимум.

Определим вспомогательную переменную :

.

Решая совместно уравнения связи и уравнение вспомогательной переменной

получаем , , .

Пусть сейчас на наложено ограничение . Сначала требуется решить задачу без ограничений. Если ограничения существенны, т.е. в задаче без ограничений получено управление больше допустимого, то нужно решать задачу с ограничениями. ПМ позволяет решить вопрос о точке схода с ограничения и управления после ограничения.

Доказывается, что в поставленной задаче (как и в любых других с квадратичным по управлению функционалом) управление выражается так:

.

Аналитически найти точку схода в общем случае невозможно. Посмотрим как это можно сделать численно из условия, что вдоль оптимальной траектории .

1. Пусть в момент времени , .

, т.е. в точке управление должно быть равно –0,3.

2. Возьмем интервал времени , .

, следовательно на интервале .

3. Аналогично берем .

4. Далее , , следовательно, здесь управление должно лежать внутри ограничения. Искомая точка схода будет зависеть от требуемой точности решения, например, при точности время схода с ограничения .

Итак, решение будет иметь следующий вид:

Оптимальное по быстродействию управление линейными объектами

Общая задача управления линейным стационарным объектом. Рассмотрим задачу определения оптимального в смысле быстродействия управления объектом, движения которого описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

, .

Эту систему можно записать в векторной форме

, (1)

где – n-мерный вектор состояний (координат);

– r-мерный вектор управлений;

– матрица размером ;

– матрица размером .

Введем следующие понятия. Систему (1) будем называть полностью управляемой, если ее можно перевести из любого заданного состояния в любое желаемое за конечный промежуток времени, выбирая надлежащим образом закон изменения любой из компонент . Это свойство называется свойством управляемости.

Управляемость определяется строением матриц и , т.е. физически структурой и типами звеньев системы. Без доказательства примем, что система (1) является полностью управляемой если матрица D вида:

размером имеет ранг .

Если система управляема по каждой из компонент вектора , то такая система называется нормальной. Для того, чтобы линейная система с постоянными коэффициентами вида (1) была нормальной, необходимо и достаточно, чтобы все матрицы

,

были невырожденными, т.е. имели ранг или определитель этих матриц не был равен 0. Здесь – k-тый столбец матрицы , который характеризует воздействие k-той компоненты вектора . Отметим, что каждая нормальная система является полностью управляемой, тогда как не всякая полностью управляемая система является нормальной.

Покажем это на примере.

Дана система с двумя входами и двумя выходами.

Матрицы и имеют вид:

,

Составим матрицу :

,

которая имеет ранг, равный 2, при любых значениях , следовательно, система полностью управляема.

Для оценки нормальности системы запишем матрицы и :

Нетрудно видеть, что матрица – невырожденная, а матрица невырожденная при . Если , то получаем систему, которая не управляется с помощью одного из управлений .

Постановка задачи. Во многих задачах автоматического управления в качестве критерия оптимальности выбирается быстродействие, т.е. время перевода системы из положения в положение . В этом случае минимизируемый функционал имеет вид:

Пусть требуется решить линейную задачу быстродействия для объекта (1):

,

для которого заданы начальное и конечное состояния. Область управления представляет собой многогранник

,

Функция Гамильтона для рассматриваемой задачи

.

При и получим:

,

что является довольно жестким ограничением. Более приемлемо ограничение

.

Сопряженная система уравнений для вспомогательных переменных :

.

Согласно второму условию принципа максимума, оптимальное управление должно доставлять максимум функции . Максимум по определяется только слагаемым , следовательно, оптимальное управление должно доставлять максимум этому слагаемому. Можно показать, как в линейном программировании, что оптимальным будет управление, принадлежащее вершинам многогранника . Выражение достигает максимума если принимает значения из кусочно-постоянной функции

,

или в общем виде

.

Например, в системе

, ,

Максимум по определится максимумом .

Переменная зависит от времени, но максимум лежит на границе . Найдем :

,

Здесь не выяснен вопрос, когда же значение переменной сменится с на (момент ) и когда с переходить на . Ответ на этот вопрос зависит от граничных условий.

Теорема об n интервалах

В общем случае число переключений оптимального управления конечно и зависит положения граничных точек, от характера чисел матрицы и вида многогранника в пространстве управлений.

Для частного случая, когда система (1) имеет только действительные корни, справедлива теорема об n интервалах, которую примем без доказательства.

Если характеристические числа матрицы – действительные числа и область управления представляет собой r-мерный куб, то каждое из управлений кусочно-постоянно и имеет не более (n–1) переключений (т.е. не более n интервалов знакопостоянства), где n – порядок системы.

Приведем еще одну теорему.

Если в системе (1) все характеристические числа матрицы лежат в левой полуплоскости и начало координат является внутренней точкой многогранника , то для любой существует оптимальное управление, переводящее в начало координат. Это оптимальное управление, таким образом, характеризует устойчивость системы.

Сформулированные теоремы показывают, что для случая линейных оптимальных быстродействий ПМ позволяет однозначно определить оптимальное управление и соответствующую ему фазовую траекторию.

Рассмотрим пример.

Произвести синтез оптимальной по быстродействию системы.

и

На управления наложено ограничение . Будем искать управление в функции состояний системы , которое произвольное начальное состояние переводит в начало координат за минимальное время .

1. Сначала проведем качественный анализ оптимального управления.

а) В данном примере имеем матрицы

, .

Матрица управляемости имеет определитель , т.е. система является полностью управляемой.

б) Характеристические числа матрицы А:

,

характеристические числа являются действительными, следовательно, удовлетворяют теореме об n интервалах.

Таким образом, оптимальное управление является кусочно-постоянным и имеет не более 2 интервалов знакопостоянства, в зависимости от граничных условий управляющими последовательностями будут:

, , , .

2. Проведем анализ траектории системы при оптимальном управлении.

Обозначим и найдем решение при :

, .

Из начального условия , , получим:

, .

Исключая время из этих уравнений получим уравнения фазовых траекторий системы:

.

Фазовые траектории при показаны на рисунке.

Направление фазовых траекторий определяется исходя из системы по знакам производных для переменных под действием известного управления.

3. Синтез системы. Обозначим через множество состояний, из которых под система переводится в начало координат, а через фазовую траекторию при , проходящую через начало координат. Эти множества или траектории описываются уравнениями:

Объединение множеств запишется:

.

Обозначим через область, расположенную левее , а через область правее . Если начальное состояние , то для перевода системы в начало координат требуется управляющая последовательность , причем переключения производится на линии . Аналогично для . Здесь видно, почему в теорем об n интервалах говорится «не более n интервалов» – это происходит в зависимости от граничных условий. Закон управления

.

Линия представляет собой линию переключения. Обычно реализуют закон управления в виде

.

Структурная схема замкнутой системы, реализующей этот закон управления, показана на рисунке, где .

Нелинейные задачи оптимального управления

Под нелинейными задачами будем понимать такие, в которых уравнения связи объекта

нелинейны по переменным и , хотя в большинстве случае имеет место нелинейность по управлению. К нелинейным задачам относятся также задачи, в которых подынтегральная функция в функционале

нелинейна по переменным и .

Уравнения движения объекта, нелинейного по координатам с одним линейным управлением можно записать в следующей векторно-матричной форме:

,

где – вектор состояний объекта ,

– функциональная матрица-столбец с элементами ,

– функциональная матрица-столбец с элементами .

Например, если задана электрическая печь со схемой:

то из физических соображений можно записать систему нелинейных дифференциальных уравнений

,

что в матричной форме записи соответствует матрицам

, .

Дата добавления: 2015-04-29