Охват звена жесткой обратной связью

Обратной связью называется такое устройство, при помощи которого часть выходного сигнала передается на вход данного звена (или одного из предыдущих звеньев).

Когда передаваемое обратной связью воздействие зависит только от выходной величины и не зависит от времени, обратная связь называется жесткой.

Схема имеет вид (рис.1.26):

Согласно схеме: часть выходного сигнала звена I подается на его вход через звено II. Пусть статическая характеристика охватываемого звена (без обратной связи) Хвых = ƒ (Хвх) и статическая характеристика обратной связи Хос = φ (Хвых). Тогда статическая характеристика системы будет

Хвых = ƒ [ Хвх′ ± φ (Хвых)] (1.39)

Знак “+” – при положительной обратной связи; “–” – при отрицательной.

В системах регулирования по отклонению регулятор, подключенный к объекту, образует отрицательную обратную связь, поскольку он стремится противодействовать возмущающему воздействию.

На рис. 1.27 показано построение статической характеристики при отрицательной обратной связи.

В первом квадранте строится статическая характеристика охватываемого звена I, во втором- характеристика звена обратной связи II. Результирующая характеристика III строится в первом квадранте.

Для построения статической характеристики запишем уравнение сумматора: Хвх = Хвх′ – Хос или Хвх′ = Хвх + Хос. Отсюда вытекает и правило построения суммарной характеристики: задаемся выходной величиной системы – точка 1, по ней находим Хвх – точка 2 и Хос – точка 3; к отрезку 1–2 прикладываем отрезок 2– 4, равный 1–3 – точка 4 является результирующей и т. д.

Отрицательная обратная связь (ООС) делает результирующую характеристику более пологой, чем исходная, уменьшает коэффициент передачи звена.

Рассмотрим статическую характеристику системы при положительной обратной связи (ПОС). На рис.1.28 показано построение статической характеристики системы при ПОС. Характеристики охватываемого I звена и звена обратной связи II рисуются в одном (первом) квадранте. Для ПОС уравнение сумматора Хвх = Хвх′ + Хос, или Хвх′ = Хвх – Хос. Отсюда почти аналогичное, как и при отрицательной обратной связи, и построение характеристики: точка 2 результирующей характеристики определяется как разность отрезков (0 – 3) минус (0 –1) и т. д.

6.

7.

Положительная обратная связь делает результирующую характеристику более крутой, увеличивает коэффициент передачи.

Рассмотрим приведенных два случая для линейных звеньев:

Хвых = к₀ Хвх и Хос = к_ос Хвых, где к₀ – коэффициент передачи охватываемого звена.

Результирующая характеристика Хвых = к₀ Хвх = к₀ (Хвх′ ± к_ОС Хвых).

X′ (1.40)

Здесь знак минус относится к ПОС, знак плюс- к ООС.

Коэффициент передачи звена с обратной связью:

(1.41)

ПОС увеличивает коэффициент передачи, ООС – уменьшает.

5. Виды статических ошибок (вывод формул).

Поскольку главная обратная связь в системе отрицательная, то можно найти формулу статической ошибки уравнения (ε)

1) Если все элементы имеют К, то в такой системе есть статическая ошибка

2) Чем больше приращение управления, тем больше … ε уменьшается при увеличении К в установившейся системе.

К _z – коэффициент по возмущению.

- без цепи

- статическая ошибка по возмущению

Статическая ошибка по возмущению, так же как и статическая ошибка по управлению уменьшается при увеличении К_z рабочей системы.

6. Астатические элементы и системы.

Астатические системы автоматического регулирования от статических систем отличаются отсутствием в статическом стационарном режиме статической ошибки регулирования зависящей от величины нагрузки. Ошибка регулирования в астатических системах является постоянной по величине и определяется лишь порогом чувствительности контура регулирования.

Для обеспечения астатического регулирования в контуре регулирования необходимо устранить жесткую зависимость между положением регулирующего органа и значением регулируемой величины. В этом случае регулируемую величину можно поддерживать постоянной при любой допустимой нагрузке. Для этого в контур регулирования необходимо включить астатическое звено.

- характеристическое уравнение

Замкнутая система автоматического управления устойчива, если главный определитель Гурвица и все его диагональные миноры больше 0.

Для устойчивости системы положительность всех коэффициентов является необходимым условием, но для систем выше 2-го порядка это условие не является достаточным.

Дополнение к критерию Гурвица: система находится на границе устойчивости, если предпоследний элемент диагонали равен 0, а остальные диагонали минора больше 0.

7. Методы описания динамики линейных систем автоматического управления.

А) Дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение наиболее общий инструмент описания системы связанных физических элементов, образующих техническое устройство или объект, способной воспринимать внешнее воздействие x(t) и характеризуемую некоторой выходной величиной y(t), известным образом зависящей от воздействия x(t). Все остальные методы описания систем прямо или косвенно вытекают из дифференциального уравнения или опираются на него.

Дифференциальное уравнение универсально и может описывать систему, как в режиме реального времени, так и апостериорно.

Напомним, как решаются дифференциальные уравнения. Рассмотрим для примера уравнение

Здесь x = x(t) задаваемое в текущем режиме или полностью известное на всем временном интервале входное воздействие на систему, а y = y(t) – искомая реакция системы на воздействие. Коэффициенты уравнения определяются моделируемой системой.

Для однозначного решения (2.1) должны быть заданы начальные условия: значения решения y(0) и его производной y’(0) по времени в начальный, например нулевой, момент времени. В физической системе эти значения определяются энергией, содержащейся в этот момент времени в элементах, способных ее накапливать, например, в электрических емкостях и индуктивностях, пружинах, подвижных массивных деталях и т.п. Кроме того, должно быть задано и входное воздействие x(t). Входным воздействием может быть произвольный сигнал, в том числе, например, пробный: ступенчатая единичная функция или синусоидальный сигнал x(t) = sin(ωt + φ), или более сложные сигналы, изменение которых во времени заранее не известно. Известными считаются и коэффициенты в (2.1), которые определяются составом и свойствами системы и, в свою очередь, характеризуют ее модель.

Методы решения дифференциальных уравнений разделяются на аналитические и численные, а кроме того, такие уравнения можно решать на аналоговых и квазианалоговых (виртуальных) вычислительных машинах. Аналитические методы дают в результате решения формулы для y(t) и используются для решения уравнений в случае известных заранее воздействий. Если входное воздействие не известно заранее и его значения поступают с течением времени от некоторого источника, то уравнение может решаться либо численно, либо на аналоговой машине.

В случае известного заранее воздействия x(t), решение (2.1) можно получить аналитически. Его удобно представлять в виде суммы принужденной y_пр(t) и свободной y_св(t) составляющих:

поскольку их легко разделить и найти по отдельности.

В устойчивых системах y_св(t) затухает с течением времени, поэтому при относительно больших значениях t, при условии, что воздействие достаточно гладкое, т.е. оно и ее младшие производные не содержат скачков (разрывов первого рода) [1], выходной сигнал системы приближается к принужденному

Математики говорят, что это частное решение неоднородного уравнения (2.1). Решение (2.3) позволяет найти принужденную компоненту как выходной сигнал при больших значениях времени, экстраполировать его на весь временной интервал, а потом найти и свободную составляющую:

Математики называют (2.4) общим решением однородного уравнения (это (2.1), в котором правая часть равна нулю).

Свободная компонента

определяется корнями p_k характеристического полинома A(p):

(2.6)

системы, составляемого по левой части дифференциального уравнения (2.1), а также начальными условиями y(0) и y’(0) и видом воздействия x(t), в том числе его значениями в нулевой момент времени x(0), позволяющими найти коэффициенты С1 и С2.

Рис.2.2. Решение y(t) дифференциального уравнения при нулевых начальных условиях и известном заранее воздействии x(t) = sin(30t) ·1o(t) (синяя линия) складывается из принужденной y_пр(t) (фиолетовая линия) и свободной y_св(t) (зеленая линия) компонент. Свободная компонента решения, определяющая переходный процесс, определяется начальными условиями, характеризующими систему, описываемую дифференциальным уравнением, и поданным в нулевой момент на систему сигналом. Она затухает, в данном случае за 0.5 сек. В переходном процессе система «подстраивается» под внешнее воздействие, переходя к установившемуся режиму

Переходный процесс может быть вызван не только несоответствием начальных условий системы подаваемому воздействию, но и скачкообразными изменениями воздействия на систему и его младших производных, которые могут быть не известны заранее. Если САР, пусть и с некоторой ошибкой успевает отслеживать воздействие, то она находится в установившемся динамическом режиме. Но если она в какой-то момент не успевает отследить достаточно быстро изменяющееся воздействие, то появляется свободная составляющая, например, колебательная, связанная со свободным, не принужденным обменом энергией между ее накапливающими элементами, до затухания которой режим САР является переходным, а затем вновь становится установившимся.

Начальные условия удобнее всего приурочить к моменту подачи сигнала на систему, однако, это не обязательное требование. Начальные условия в принципе могут быть заданы и для других моментов времени, и эти моменты могут быть разными для значений выходного сигнала и его младших производных.

Если воздействие на систему, описание которой осуществляется дифференциальным уравнением, поступает в реальном времени и, следовательно, прогнозировать его не возможно, то понятия свободная и принужденная составляющие решения уравнения теряют смысл, поскольку они не могут быть найдены в текущем времени по отдельности, однако понятия переходный и установившийся режим могут использоваться и в таком случае.

Дифференциальное уравнение при полностью известном воздействии позволяет корректно определить понятия переходного и установившегося режима, используемые в ТАУ. Эти понятия применяются для устойчивых систем:

- переходный режим – это сумма свободной и принужденной компонент решения дифференциального уравнения в пределах временного интервала, пока свободная компонента не затухнет. Практический критерий затухания – уменьшение величины амплитуды свободной компоненты в 20 раз по сравнению с максимальным ее значением;

- установившийся режим это принужденная компонента решения дифференциального уравнения, он начинается с момента затухания свободной компоненты, совпадает с принужденной компонентой решения дифференциального уравнения и длится до возникновения нового переходного режима.

Примечание. Выявить, существует ли в данный момент при работе в текущем времени, переходный режим можно по анализу отличия ошибки регулирования от ее гладкого прогноза, осуществляемого с помощью коэффициентов ошибок . В переходном режиме эта разность будет содержать собственные колебания системы, определяемые комплексными и действительными корнями ее характеристического полинома [1].

В ряде случаев представляется удобным описание поведения системы, ее переходного и установившегося режимов с помощью т.н. фазового портрета: графического представления взаимосвязи решения дифференциального уравнения и его производной. Часто фазовый портрет применяется для изучения свободного поведения системы, находящейся в некотором начальном состоянии, но он может быть использован также и для рассмотрения поведения системы при внешнем воздействии. Для рассмотренного выше примера синусоидального воздействия на систему (2.1) ее фазовый портрет выглядит следующим образом:

Метод дифференциального уравнения позволяет численно решать задачи в текущем времени потому, что решение находится по шагам, по мере поступления воздействия.

Обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) описывает систему с одним входом и одним выходом. Оно может быть записано и в виде системы ОДУ. Многомерные системы, имеющие несколько входов и несколько выходов, также описываются системами ОДУ. Важным частным случаем систем ОДУ, опирающимся на мощный математический матричный аппарат линейной алгебры, является представление системы ОДУ в форме Коши, что позволяет описывать техническую или физическую линейную систему переменными состояния, в частности фазовыми переменными.

Б) Пространство состояние (матричные примеры)

Пространство состояний — в теории управления один из основных методов описания поведения динамической системы. Движение системы в пространстве состояний отражает изменение ее состояний.

В пространстве состояний создаётся модель динамической системы, включающая набор переменных входа, выхода и состояния, связанных между собой дифференциальными уравнениями первого порядка, которые записываются в матричной форме. В отличие от описания в виде передаточной функции и других методов частотной области, пространство состояний позволяет работать не только с линейными системами и нулевыми начальными условиями. Кроме того, в пространстве состояний относительно просто работать с MIMO-системами.

Для случая линейной системы с входами, выходами и переменными состояния описание имеет вид:

где

; ; ;

, , , , .

— вектор состояния, элементы которого называются состояниями системы

— вектор выхода,

— вектор управления,

— матрица системы,

— матрица управления,

— матрица выхода и

— матрица прямой связи.

Часто матрица является нулевой, это означает, что в системе нет явной прямой связи.

Для дискретных систем запись уравнений в пространстве состояний основывается не на дифференциальных, а на разностных уравнениях.

Дата добавления: 2015-04-29