Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Частотные характеристики систем радиоавтоматики 1 страница




Частотная характеристика получается из передаточной функции при подстановке в передаточную функцию комплексной переменной :

.

Частотную характеристику можно представить в виде действительной и мнимой части:

.

- амплитудно-частотная характеристика (АЧХ),

- фазочастотная характеристика (ФЧХ),

- логарифмическая амплитудно-частотная характеристика.

Пример 2.3. Построить логарифмическую амплитудно-частотную характеристику системы с передаточной функцией

Сделаем замену: . Тогда:

Рис. 2.1. График логарифмической амплитудно-частотной характеристики

2.4.Типовые звенья

Устройства систем радиоавтоматики, классифицируемые по виду передаточных функций, называют типовыми (основными) звеньями.

1) Безынерционное звено.

Примеры: потенциометр, полупроводниковый усилитель.

- передаточная функция,

- коэффициент передачи звена,

- амплитудно-частотная характеристика звена,

- переходная функция.

2)Инерционное звено.

Примеры: RC- цепочка, изображённая на рис. 2.2.

Рис.2.2. Cхема RC-цепи инерционного звена

 

- передаточная функция,

- частотная характеристика,

- вещественная частотная характеристика,

- мнимая частотная характеристика,

- амплитудно-частотная характеристика,

- фазочастотная характеристика,

- переходная функция звена.

3) Интегрирующее звено.

Примеры: усилитель постоянного тока c большим коэффициентом усиления, в цепь обратной связи которого включён конденсатор.

 

- передаточная функция,

- вещественная частотная характеристика,

- мнимая частотная характеристика,

- амплитудно-частотная характеристика,

- фазочастотная характеристика,

- переходная функция звена.

4) Колебательное звено.

Пример: контур, cостоящий из индуктивной катушки, резистора и конденсатора, изображённый на рис. 2.3.


Рис.2.3. Cхема электрической цепи колебательного звена

 

,

где - относительный коэффициент затухания.

- амплитудно-частотная характеристика,

- фазочастотная характеристика,

, где .

Если , то полюсы передаточной функции –отрицательные действительные числа и

.

, , где и - полюсы.

,

.

 

3. Структурные схемы и передаточные функции САУ

3.1 Виды соединений звеньев в системах радиоавтоматики

В системах радиоавтоматики встречаются три вида соединений звеньев: последовательное, параллельное и соединение звеньев по схеме с обратной связью.

3.1.1.Последовательное соединение типовых звеньев

 
 

Cтруктурная схема последовательного соединения звеньев приведена на рис. 3.1.

 

 

Рис. 3.1. Последовательное соединение типовых звеньев

 

По определению передаточной функции

; ;…; .

Перемножив передаточные функции, получим:

.

Частотная характеристика последовательно соединённых звеньев:

,

где

,

.

Логарифмическая АЧХ звеньев, соединённых последовательно:

.

3.1.2.Параллельное соединение звеньев

На вход приёмника при таком соединении звеньев подаётся один и тот же сигнал, а выходные сигналы суммируются. Cтруктурная схема такого соединения звеньев приведена на рис. 3.2.

 

 
 

 

Рис. 3.2. Параллельное соединение типовых звеньев

 

Так как

то .

Вывод. Передаточная функция параллельно соединённых звеньев равна сумме передаточных функций отдельных звеньев:

,

,

- вещественная частотная характеристика звеньев, соединённых параллельно,

- мнимая частотная характеристика.

- амплитудно-частотная характеристика,

- фазочастотная характеристика.

Пример 3.1. Найти передаточную функцию параллельной системы, состоящей из трёх звеньев и передаточные функции каждого отдельного звена, если входное воздействие задаётся функцией , а выходные сигналы с каждого звена задаются функциями , , . Нарисовать структуру системы.

 

Рис.3.3. Cтруктура параллельной системы состоящей из трёх звеньев

 

 

Так как выходные сигналы в системе суммируются, то По определению передаточной функции:

 

 
 

3.1.3.Соединение звеньев по схеме с обратной связью

Cтруктурная схема такой системы приведена на рис. 3.4.

 

Рис. 3.4. Cоединение звеньев по схеме с обратной связью

На вход звена, охваченного обратной связью, подаётся сигнал рассогласования, для которого преобразование Лапласа имеет вид:

(3.1)

По определению передаточной функции

(3.2)

Из (3.1) и (3.2) следует, что . Исключив , получим:

Cледовательно, передаточная функция звеньев, соединённых по схеме с обратной связью равна:

- для случая отрицательной обратной связи,

- для случая положительной обратной связи.

,

,

где , - вещественная и мнимая частотные характеристики звеньев, образующих замкнутый контур.

3.2 Передаточные функции

3.2.1.Передаточные функции разомкнутой и замкнутой системы

Для системы, изображённой на рисунке 3.5., передаточная функция разомкнутой системы равна:

.

Рис. 3.5. Cтруктурная схема системы, которая может находиться в замкнутом и разомкнутом состоянии

 

Для замкнутой системы:

.

Передаточную функцию замкнутой системы можно выразить через передаточную функцию разомкнутой системы с помощью выражения , в котором передаточная функция обратной связи . Таким образом:

.

3.2.2.Передаточная функция рассогласования

.

Из уравнения замыкания системы и выражения следует, что . Тогда:

- связь передаточной функции ошибки и передаточной функции замкнутой системы.

Так как , то - связь передаточной функции ошибки и передаточной функции разомкнутой системы.

Пример 3.2. Задана структурная схема системы радиоавтоматики, которая может находиться в замкнутом и разомкнутом состоянии (рис 3.6.). На структурной схеме приняты следующие обозначения:

- задающее воздействие;

– сигнал ошибки;

–передаточная функция звена, входящего в систему;

– выходной сигнал системы.

Сумматор изображён на рисунке в виде кружка, разделённого на секторы. Затенённый сектор сумматора отображает операцию вычитания.

Рис. 3.6. Структурная схема системы радиоавтоматики, в которую входит одно звено

.

Требуется найти передаточные функции разомкнутой, замкнутой системы и ошибки.

Так как в систему входит одно звено, то передаточная функция системы в разомкнутом состоянии:

Передаточная функция системы в замкнутом состоянии находится следующим образом:

Используя формулу для передаточной функции ошибки, получим:

Пример 3.3. Передаточная функция звена, входящего в систему, структурная схема которой изображена на рис.3.6., равна . Задающее воздействие имеет вид: Требуется найти выражение для выходного сигнала и сигнала рассогласования.

По определению передаточной функции:

,

где

- преобразование Лапласа для выходного сигнала системы,

- преобразование Лапласа для входного воздействия,

- передаточная функция системы в замкнутом состоянии.

Исходя из вышеизложенного и таблицы преобразований Лапласа передаточная функция замкнутой системы рассчитывается по формуле:

.

Из таблицы преобразований Лапласа и свойств преобразований Лапласа следует, что:

.

Тогда,

Разложим эту дробь в сумму элементарных дробей, используя метод неопределённых коэффициентов:

Составим систему уравнений, приравнивая соответствующие коэффициенты при степенях:

Решая эту систему, получим:

Cледовательно,

Используя таблицу преобразований Лапласа, получим:

.

По определению передаточной функции рассогласования:

.

Передаточная функция рассогласования через передаточную функцию разомкнутой системы рассчитывается по формуле:

.

Тогда =

Используя таблицу преобразований Лапласа, получим:

.

 

3.2.3. Передаточные функции статических и астатических систем

Системы радиоавтоматики могут подразделяться на статические и астатические.

В статических системах ошибка в установившемся режиме отлична от нуля, а в астатических системах равна нулю.

 

Рис.3.7. К пояснению статической ошибки системы

 

На вход астатической системы подан сигнал . Согласно определению передаточной функции ошибки:

.

Ошибка в установившемся режиме, называемая статической, на основании теоремы преобразования Лапласа о конечном значении функции:

.

Из этого выражения следует, что статическая ошибка равна нулю, если передаточная функция ошибки содержит множитель (имеет нуль в точке =0), в противном случае статическая ошибка не равна нулю.

Передаточная функция ошибки системы с астатизмом порядка содержит множитель . В такой системе ошибка в установившемся режиме равна нулю при входном сигнале .

Из формулы cледует, что система радиоавтоматики имеет порядок астатизма, если передаточная функция разомкнутой системы содержит интегрирующих звеньев (имеет полюс порядка в точке ).

Пример 3.3. Передаточная функция системы в устойчивом состоянии имеет вид: Какой порядок астатизма имеет система?

Передаточная функция ошибки находится по формуле:

Передаточная функция ошибки имеет нуль второго порядка в точке , cледовательно данная система является астатической системой второго порядка.

Пример 3.4. Передаточная функция системы в замкнутом состоянии определяется формулой:

Каковы условия получения порядка астатизма, если:

1)

2)

3) .

Найдём передаточную функцию рассогласования:

Перепишем числитель полученного выражения в виде:

.

Отсюда следует, что условием получения системы:

1) с астатизмом нулевого порядка является условие: ,

2) с астатизмом первого порядка является условие: ,

3) с астатизмом второго порядка является условие: .

3.2.4.Передаточные функции многоконтурных систем

К многоконтурным относятся системы радиоавтоматики, в которых помимо замкнутого контура с главной обратной связью имеются контуры, образованные стабилизирующими обратными связями, введёнными для придания системе нужных динамических характеристик. Передаточные функции таких систем находятся путём последовательного сведения структурной схемы многоконтурной системы к эквивалентной одноконтурной.

Рис. 3.8. Cтруктурная схема двухконтурной системы

 

Исходя из вышеизложенного, передаточная функция системы, структурная схема которой изображена на рис.3.8., находится следующим образом:

1) Сначала находится передаточная функция внутреннего контура, изображённого на рисунке штриховкой, который является системой с обратной связью:

.

2) Если представить внутренний контур как отдельное звено, то вся система представляется как последовательная система, состоящая из двух звеньев. Тогда её передаточная функция находится следующим образом:

.

 

4. Анализ устойчивости линейных непрерывных стационарных САУ

4.1 Постановка задачи устойчивости

 

Cистема радиоавтоматики устойчива, если переходная составляющая решения стремится к нулю. Это означает, что если система выведена из состояния равновесия каким-либо возмущением, то она возвращается в исходное состояние после устранения этого возмущения.

Устойчивость линейной системы определяется её характеристиками и не зависит от действующих воздействий. Процессы в системах радиоавтоматики описываются дифференциальными уравнениями вида:

, (4.1)

где

- символ дифференцирования,

, - входной и выходной сигналы системы.

Решение уравнения состоит из двух составляющих:

,

где

- решение неоднородного уравнения, - переходная составляющая решения.

Найдём корни характеристического уравнения:

, (4.2)

, (4.3)

где

- корни характеристического уравнения, - постоянные интегрирования.

Действительному корню характеристического уравнения в выражении (4.2) соответствует слагаемое . Если , то переходная составляющая с ростом времени стремится к нулю. Если , то эта составляющая неограниченно возрастает.

Паре комплексно-сопряжённых корней уравнения (4.2) соответствует слагаемое

,

где - корни характеристического уравнения, , - постоянные интегрирования, определяемые через .

При этом переходная составляющая стремится к нулю, если вещественные части корней отрицательны, в противном случае амплитуда колебаний переходной составляющей непрерывно возрастает.

Пара мнимых корней характеристического уравнения позволяет получить переходную составляющую в виде колебаний с постоянной амплитудой:

.

Представляется естественным сделать вывод, что для устойчивости системы радиоавтоматики необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные знаки, или эти корни на плоскости комплексного переменного были расположены слева от мнимой оси. Если корни характеристического уравнения расположены на мнимой оси, то система радиоавтоматики находится на границе устойчивости. При этом возможны два случая: корень в начале координат и пара мнимых корней. Нулевой корень появляется, когда свободный член характеристического уравнения равен нулю. Если остальные корни этого уравнения отрицательные, то система радиоавтоматики устойчива не относительно выходного сигнала, а относительно его производной, выходной сигнал в установившемся режиме имеет произвольное значение. Такие системы называют нейтрально устойчивыми. В том случае, когда характеристическое уравнение имеет пару мнимых корней, границу устойчивости называют колебательной.

4.1.1. Необходимое условие устойчивости

В соответствии с необходимым условием устойчивости все коэффициенты характеристического уравнения (4.1) должны быть больше нуля.

Представим (4.1) в виде:

. (4.4)

Если система устойчива, т.е. все корни отрицательные, то, раскрыв скобки в (4.4) получим уравнение с положительными коэффициентами. Если система неустойчива, т.е. хотя бы один из корней положительный, то перемножив сомножители в (4.4), получим уравнение с несколькими отрицательными коэффициентами.

4.2 Критерий устойчивости Гурвица

Для оценки устойчивости системы радиоавтоматики по критерию Гурвица необходимо из коэффициентов характеристического уравнения (4.1) составить матрицу Гурвица. Перепишем (4.1) в виде:




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-04-29; Просмотров: 785; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.097 сек.