Методы перехода к дискретной передаточной функции

При исследовании процессов цифровой фильтрации используется математический аппарат преобразования непрерывных сигналов в цепях. Это объясняется тем, что теория преобразования непрерывных (аналоговых) сигналов разработана достаточно полно и имеет обширный, детально разработанный математический аппарат.

Для исследования временных характеристик аналоговых фильтров на основе понятия импульсной переходной функции в качестве математического аппарата обычно применяется преобразование Лапласа. При его использовании линейную систему удобно характеризовать передаточной функцией G(S), определяемой отношением преобразования Лапласа выходной функции Y(S) к преобразованию Лапласа входной функции X(S).

G(S) = Y(S) / X(S)

где Y(S)=L[Y(t)]

X(S)=L[X(t)]

L[…] – оператор преобразования Лапласа,

X(t) – входной сигнал фильтра,

Y(t) – выходной сигнал фильтра.

Здесь используются передаточные функции нескольких фильтров, записанные в аналоговой форме.

Импульсные передаточные функции можно непосредственно определить из аналоговых путем использования различных форм Z – преобразования. Под Z – преобразованием понимается изображение решетчатой функции, определяемой формулой:

где z – комплексная переменная (),

T – период дискретизации

Поскольку рассматриваемые аналоговые фильтры удовлетворяют требованиям обработки сигнала необходимо, чтобы полученные цифровые фильтры также обладали всеми требуемыми свойствами, включая частотные характеристики. Для этого необходимо, чтобы процедура перехода удовлетворяла двум условиям:

1. Мнимая ось S – плоскости (S=jw для -¥<w<¥) отображалась в единичную окружность z – плоскости ( для ) (рисунок 2.4)

Рисунок 2.4

Это условие необходимо для сохранения частотных характеристик аналогового фильтра.

2. Левая половина S – плоскости (Re[S]<0) отображалась в часть z – плоскости внутри единичного круга (|z|<1) (рисунок 2.5).

Это свойство необходимо для сохранения устойчивости аналогового фильтра.

Рисунок 2.5 - Использование таблиц z – преобразования.

Для перехода к импульсной передаточной функции можно использовать таблицы z – преобразования.

При этом необходимо:

- определить оригинал преобразования Лапласа G(S)/S;

- найти соответствующее z – преобразование, используя его свойства и таблицы;

- произвести умножение на (1-z^-1), для получения импульсной передаточной функции с нулевым порядком приближения.

Рассмотрим преобразование этим методом на примере двух фильтров.

Дифференцирующее звено типа . Передаточная функция такого фильтра в аналоговой форме имеет вид:

Тогда импульсная передаточная функция будет:

Из таблиц находим, что

где

После подстановки получим:

Дифференцирующий корректирующий фильтр.

Аналоговая форма передаточной функции:

где

Импульсная передаточная функция такого фильтра запишется как:

по таблицам находим

где .

Дата добавления: 2015-04-29