Использование z и w - преобразования

Лекция 3

Рассмотренный выше способ преобразования не всегда удобен, так как при более сложных передаточных функциях возникает необходимость раскладывать их на элементарные дроби. В этом случае можно использовать одну из форм z – преобразования, полученную на основе замены, либо отображения операции точного дифференцирования операциями приближенного дифференцирования.

К простейшим относятся следующие замены:

- аппроксимация Эйлера

(3.1)

Указанные z – преобразования не нашли широкого применения, потому, что приводят к искажениям характеристик аналоговых цепей (потере избирательных свойств, свойства постоянства АЧХ и др.).

Как замену оператора дифференцирования приближенным выражением:

можно рассматривать билинейное z – преобразование. В результате происходит деформация характеристик преобразуемой цепи.

Упрощенная процедура z – преобразования основана на использовании z – форм. Метод z – форм является более точным в связи с тем, что каждая или степень аппроксимируется своей более точной рациональной функцией.

Суть метода получения z – форм заключается в следующем. Логарифмируя соотношение , имеем

(3.2)

Представляя функцию в виде ряда, получим:

(3.3)

С учетом этого соотношения, (3.3) принимает вид:

где .

Учитывая, что ряд lnz быстро сходится, ограничимся его главной частью в виде:

(3.4)

Это выражение и есть z – форма соответствующая выражению .

Таким же образом можно получить z – форму для любого порядка оператора .

(3.5)

Правые части выражений представлены в форме ряда Лорана. Сохраняя только главную часть и постоянный член ряда, получаем:

(3.6)

где - полином по степеням .

Следует подчеркнуть, что поскольку при S=0, z=1, полюса обеих частей выражения (3.6) соответствуют друг другу, то учет дополнительных членов ряда привел бы к появлению дополнительных полюсов на z – плоскости и, как следствие, к большим ошибкам.

Для нахождения импульсных передаточных функций по методу z – форм необходимо:

- определить оригинал преобразования Лапласа G(S)/S;

- записать передаточную функцию по степеням S^-1;

- заменить каждую S^-n степень соответствующей z – формой из таблиц;

- домножить полученное выражение на ;

- произвести умножение на для получения импульсной передаточной функции с нулевым порядком приближения.

Преобразуем этим методом передаточные функции двух фильтров.

Корректирующий интегро-дифференцирующий фильтр.

Передаточная функция аналогового фильтра:

, (3.7)

где и - постоянные коэффициенты ( и ).

(3.8)

(3.9)

Заменяя каждую степень соответствующей z – формой, получим:

(3.10)

Тогда:

Приведя подобные, получим

, (3.12)

где

Корректирующий фильтр с повышением порядка астатизма.

Его передаточная функция имеет вид:

(3.13)

где n=2, 3, … - постоянный коэффициент.

Тогда:

(3.14)

Подставив в выражение вместо соответствующие z – формы, получим:

Приведя подобные и сократив на , получим выражение импульсной передаточной функции:

(3.15)

где

При исследовании дискретных систем в настоящее время широко используются частотные методы.

Для получения частотной передаточной функции необходимо в выражении для передаточной функции сделать подстановку

(3.16)

Так, например, может быть получена частотная передаточная функция разомкнутой системы

(3.17)

Частотные характеристики в этом случае (амплитудно-фазовая, амплитудная, фазовая и др.) оказываются периодическими функциями частоты w с периодом 2p/Т.

Более удобным для получения частотных характеристик и, в частности, логарифмических частотных характеристик является использование псевдочастоты. Обычно для этой цели применяется так называемое пи-преобразование, при помощи которого окружность единичного радиуса отображается на мнимую ось плоскости комплексной величины w. Для преобразования используется подстановка

или соответственно

Сделав подстановку , получим

(3.18)

где представляет собой относительную псевдочастоту.

В дальнейшем изложении будет использоваться так называемая абсолютная псевдочастота:

(3.19)

При малых частотах () абсолютная псевдочастота практически совпадает с обычной частотой, , вследствие того, что в этом случае это является весьма удобным, так как при выполнении условия частотные характеристики, построенные в функции псевдочастоты, практически сливаются с частотными характеристиками, построенными в функции обычной круговой частоты w. Построение же характеристик в функции псевдочастоты оказывается значительно более простым.

Нетрудно заметить, что при изменении частоты в пределах псевдочастота пробегает все значения от -¥ до +¥, а комплексная величина w движется по оси мнимых от -j¥ до +j¥. Областью устойчивости в этом случае оказывается вся левая полуплоскость комплексной величины w. Поэтому для передаточной функции с w – преобразованием

(3.20)

могут использоваться обычные критерии устойчивости и качества, справедливые для непрерывных систем.

Аналогичным образом может быть получена передаточная функция разомкнутой системы

(3.21)

Для получения частотной передаточной функции необходимо сделать подстановку . Так, например, для разомкнутой системы имеем

(3.22)

Аналогичным образом могут быть получены частотные передаточные функции для замкнутой системы.

Как уже отмечалось, использование абсолютной псевдочастоты позволяет легко строить логарифмические частотные характеристики.

Аналогично отмеченному выше, следует учитывать особый вид функции W(jl), которая не равна W(p) при p=jl и не равна W(z) при z=jl.

Рассмотрим иллюстрированный пример. Пусть передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

где k – общий коэффициент усиления, а T – период дискретности.

Рис. 3.1. Пример на построение л.а.х. и л.ф.х.

Частотная передаточная функция может быть получена подстановкой . В результате имеем

(3.23)

Построение л.а.х. и л.ф.х. по этому выражению даже в рассматриваемом простейшем случае вызывает затруднения.

Перейдем к псевдочастоте. Частотная передаточная функция в соответствии с (12.44) имеет вид

(3.24)

Построение асимптотической л.а.х. и л.ф.х. в этом случае не вызывает никаких затруднений.

Дата добавления: 2015-04-29