Пример решения РГР №4

Электрическая цепь, схема которой показана на рис. 4.3, питается от источника несинусоидального напряжения, которое задано в виде аналитического разложения в ряд Фурье:

u(t) = 5+ 7,07sin(ωt + 30°) + 2,82sin(3ωt) B,

где ω =1000 рад/с.

Параметры элементов цепи: R =50 Ом, L₁ = 25 мГн, L₂ = 25 мГн, С = 20 мкФ.

i₃(t)

Рис. 4.3

L₁

R₄

C

u_вх(t)

L₂

u_вых(t)

i₁(t)

i₂(t)

1. Произвести расчет мгновенных значений входного тока и выходного напряжения, учитывая постоянную и две ненулевые гармонические составляющие.

Источник питания представим в виде последовательного соединения трех источников напряжения различных гармонических составляющих:

u ⁽⁰⁾= U = 5В, u⁽¹⁾(t)=7,07sin (ωt + 30°), u⁽³⁾(t)= 2,82 sin (3ωt).

Расчет несинусоидальных токов и напряжений выполняем методом наложения. Значения токов и напряжений для каждой из гармоник определяются отдельно, для чего рассматриваем схемы, содержащих только один из источников напряжения.

Рассчитаем нулевую (постоянную) гармонику токов и напряжений. Схема (рис. 4.4) содержит источник постоянного напряжения u⁽⁰⁾=5В с частотой ω = 0.

Рис. 4.4

R₄

Ток нулевой гармоники протекает по первой и третьей ветви, так как емкостное сопротивление 1/ωС = ∞ (обрыв), а индуктивное ωL = 0 (короткозамкнутый участок):

Постоянная составляющая выходного напряжения равна нулю .

Рассчитаем токи и напряжения первой гармоники. Расчет будем выполнять в комплексной форме, так как в рассматриваемой цепи все токи и напряжения изменяются по синусоидальному закону.

Схема содержит источник напряжения первой гармоники = 7,07sin (ωt +30°) В.

Частота первой гармоники ω⁽¹⁾ = ω=1000 рад/сек.

Определим входное комплексное сопротивление цепи, для чего рассчитаем сопротивления реактивных элементов для первой гармоники:

ωL₁ = j25 Ом;

ωL₂ = j25 Ом;

Ом.

Входное комплексное сопротивление:

Комплексные значения напряжений и токов первой гармоники:

Действующие значения токов и напряжений первой гармоники:

Мгновенное значение выходного напряжения первой гармоники:

Рассчитаем токи и напряжения третьей гармоники. В схеме действует источник напряжения

= 2,82 sin(3ωt) В.

Частота третьей гармоники ω⁽³⁾= 3ω=3000 рад/сек.

Величина реактивных сопротивлений зависит от частоты. Индуктивные сопротивления при увеличении частоты увеличиваются, а сопротивления емкостных элементов уменьшаются с ростом номера гармоники.

Комплексные сопротивления третьей гармоники

3ωL₁ = j75 Ом;

3ωL₂ = j75 Ом;

Ом.

Входное комплексное сопротивление третьей гармоники:

Комплексные значения напряжений и токов третьей гармоники:

Действующие значения токов и напряжений третьей гармоники:

Мгновенное значение выходного напряжения третьей гармоники:

2. Построить для одной из гармоник векторную диаграмму токов и напряжений на всех элементах схемы.

На комплексной плоскости построим векторную диаграмму действующих комплексных токов и напряжений первой гармоники (рис. 4.5), выбрав масштабы для токов и напряжений.

+1

+j

Рис. 4.5

3. Построим временную зависимость напряжения u_вых(t), расчет которого выполнен в разделе 1.

Мгновенное значение напряжения u_вых(t) равно сумме напряжений всех гармоник:

Построим график напряжения u_вых(t) в функции времени. Для чего в одних осях координат построим временные зависимости каждой из гармоник. Искомую временную функцию получим путем графического сложения синусоид всех гармоник.

При построении следует учитывать, что период третьей гармоники в три раза меньше, поэтому масштаб для нее по оси абсцисс в фазовых единицах отличается от масштаба для первой гармоники.

Полученная временная зависимость показана на рис. 4.6.

Рис. 4.6

4. Рассчитать действующие значения входного тока и напряжения.

Действующее значение входного тока

I₃= = =0,1176 А.

Действующее значение входного напряжения

U_вх = = =7,34 В.

6. Рассчитать активную и полную мощности цепи.

Активная мощность цепи при питании от несинусоидального периодического источника напряжения определяется, как сумма активных мощностей всех гармоник:

Р = Р⁽⁰⁾ + Р⁽¹⁾ + Р⁽³⁾ +…+Р^(k) =

=U₀I₀+ … .

Полная мощность определяется

где U и I – действующие значения несинусоидального напряжения и тока.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Воронежский государственный технический университет

Кафедра электротехники

Расчетно-графическая работа №_____

по курсу «Электротехника»

«Название работы»

Выполнил: студент гр. _{(номер группы)}

_{(фамилия, инициалы)}.

Принял: _{(должность преподавателя)}

_{(фамилия, инициалы)}.

Дата: _{(число, месяц, год)}.

Оценка: _____________________

Воронеж 2012

Дата добавления: 2015-05-06