Признаки равенства прямоугольных треугольников

Чтобы установить равенство прямоугольных треугольников, достаточно знать, что два элемента одного треугольника соответственно равны двум элементам другого треугольника (исключая прямой угол). Это, конечно, не распространяется на равенство двух углов одного треугольника двум углам другого треугольника.

Так как в прямоугольном треугольнике угол между двумя катетами прямой, а любые два прямых угла равны, то из первого признака равенства треугольников следует:

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны (рис 5).

Далее, из второго признака равенства треугольников следует:

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему углу другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 6).

Рассмотрим ещё два признака равенства прямоугольных треугольников.

ТЕОРЕМА. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 7).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из свойства 1º §2 следует, что в таких треугольниках два других острых угла тоже равны, поэтому треугольники равны по второму признаку равенства треугольников, то есть по стороне (гипотенузе) и двум прилежащим углам.

Что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие треугольники равны.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁, у которых углы C и C₁ - прямые, AB =A₁B₁, BC = B₁C₁ (рис. 8).

Так как < C = < C₁, то треугольник ABC можно наложить на треугольник A₁B₁C₁ так, что вершина C совместится с вершиной C₁, а стороны CA и CB наложатся соответственно на лучи C₁A₁ и C₁B₁, поскольку CB = C₁B₁, то вершина B совместится с вершиной B₁. Но тогда вершины A и A₁ также совместятся. В самом деле, если предположить, что точка A совместится с некоторой другой точкой A₂ луча C₁A₁, то получим равнобедренный треугольник A₁B₁A₂, в котором углы при основании A₁A₂ не равны (на рисунке < A₂ - острый, а < A₁ - тупой как смежный с острым углом B₁A₁C₁). Но это невозможно, поэтому вершины A и A₁ совместятся. Следовательно, полностью совместятся треугольники ABC A₁B₁C₁, то есть они равны.

Что и требовалось доказать.

Дата добавления: 2015-05-06