Принцип суперпозиции. Метод наложения

Метод двух узлов

Для разветвленной цепи, имеющей только два узла и произвольное количество ветвей, метод узловых потенциалов вырождается в метод двух узлов. Решение сводится к отысканию значения потенциала одного из узлов, т.к. потенциал другого узла может быть принятым равным нулю.

Система уравнений превращается в одно уравнение:

(2.15)

при условии, что

После определения U ₁₂ токи ветвей и напряжения источников тока находят при помощи обобщенного закона Ома.

Линейная электрическая цепь описывается системой линейных уравнений Кирхгофа. Это означает, что она подчиняется принципу наложения (суперпозиции), согласно которому совместное действие всех источников в электрической цепи совпадает с суммой действий каждого из них в отдельности. М ощность как квадратичная функция тока или напряжения принципу суперпозиции не подчиняется.

Метод наложения опирается на принцип наложения и заключается в следующем: ток или напряжение произвольной ветви или участка разветвленной электрической цепи постоянного тока определяется как алгебраическая сумма токов или напряжений, вызванных каждым из источников в отдельности.

1. 
   Произвольно задать направление токов в ветвях исследуемой цепи.
2. 
   Исходную цепь, содержащую n источников, преобразовать в n подсхем, каждая из которых содержит только один из источников, прочие источники исключаются следующим образом: источники напряжения замыкаются накоротко, а ветви с источниками тока обрываются. При этом необходимо помнить, что внутренние сопротивления реальных источников играют роль потребителей и поэтому они должны оставаться в подсхемах.
3. 
   Определить токи каждой из подсхем, задавшись их направлением в соответствии с полярностью источника, любым из известных методом. В большинстве случаев расчет ведется по закону Ома с использованием метода эквивалентных преобразований пассивных цепей.
4. 
   Полный ток в любой ветви исходной цепи определяется как алгебраическая сумма токов вспомогательных подсхем, причем при суммировании со знаком «+» берутся токи подсхем, направление которых совпадает с направлением тока в исходной цепи, со знаком «–» остальные.

^ 20) Теорема об активном двухполюснике. Метод эквивалентного генератора.

При расчете тока в одной из ветвей разветвленной цепи, содержащей произвольное число источников и потребителей, удобно рассматривать цепь, состоящую из двух частей: искомой ветви и остальной части. По отношению к рассматриваемой ветви вся остальная часть цепи является активным двухполюсником, и задача заключается в определении тока или напряжения на зажимах активного двухполюсника при подключении к нему потребителя с сопротивлением R..

Согласно II закону Кирхгофа ток не изменится, если в цепь, образованную активным двухполюсником и потребителем, включить последовательно два идеализированных встречно направленных источника с одинаковыми ЭДС (рис. 2.10). Величину каждой из них выбираем совпадающей с напряжением U_ХХ на зажимах активного двухполюсника в режиме холостого хода, который имеет место при отключенном потребителе.

(2.16)

Ток I в цепи с двумя источниками определим методом наложения. С этой целью источники разбиваем на две группы:

1. Источники активного двухполюсника и Е_{1 ,} которые сохраняются в подсхеме.

Согласно II закону Кирхгофа:

поскольку .

2. все потребители активного двухполюсника и Е ₂, сохраняются в подсхеме на рис. 2.12.

Поскольку I? = 0, полный ток I =I?.

Если эквивалентное сопротивление пассивного двухполюсника, образованного коротким замыканием источников ЭДС и обрывом ветвей, содержащих источники тока, обозначить через R _вх, получим простую одноконтурную схему (рис. 2.13), которую можно рассчитать по закону Ома:

Эта формула отражает теорему об активном двухполюснике или об эквивалентном источнике напряжения: относительно любой ветви разветвленной электрической цепи вся остальная часть схемы может быть представлена как источник напряжения, ЭДС которого равна U_XX, а внутренне сопротивление равно R _экв.

При коротком замыкании ветви с нагрузкой R = 0 ток превращается в ток короткого замыкания:

Параметры активного двухполюсника можно определить опытным путем. Для этого необходимо разомкнуть i-ую ветвь и измерить , затем замкнуть накоротко R_i и измерить I _КЗ:

Методика расчета линейной электрической цепи методом эквивалентного генератора:

1. 
   Отключается потребитель в ветви с искомым током и на зажимах обозначается ^ U _XX по направлению тока.
2. 
   В образовавшейся более простой цепи находится U _õõ с помощью II закона Кирхгофа, записанного для любого контура, содержащего U _хх. Токи в ветвях упрощенной схемы определяются любым известным методом.
3. 
   Определяется R _вх на зажимах разомкнутой ветви при условии E=0 и ^ J=0. В полученной пассивной цепи пользуются правилами эквивалентных преобразований для потребителей.
4. 
   По найденным U _õõ и R _вх определяется ток в искомой ветви, значение которого может быть и отрицательным.

Замечание 1: R _вх можно найти по формуле I _КЗ при условии R_i=0 любым известным методом.

Замечание 2: если ветвь, в которой определяется ток, содержит источник ЭДС, следует данный источник отнести к активному двухполюснику, отключив только сопротивление R_i. Тогда величина E войдет в расчет U_XX.

22) Электрическая цепь переменного тока и ее характеристики.

Переменным током i(t) и напряжением u(t) называют токи и напряжения, изменяющиеся во времени.

Сигналы, мгновенные значения которых повторяются через определенный фиксированный промежуток времени, называются периодическими, а этот промежуток времени – периодом. Такие сигналы описываются следующим образом:

где Т – период, с.

.

Любой несинусоидальный сигнал может быть представлен в виде суммы синусоидальных сигналов различной частоты с помощью разложения в ряд Фурье. И, таким образом, расчет подобных цепей может быть сведен к расчету цепей синусоидального тока и напряжения.

,

где – мгновенное значение; – амплитуда переменного сигнала – максимальная по модулю его величина; – фаза гармонического сигнала – аргумент при синусе в каждый момент времени; – начальная фаза – значение аргумента в начальный момент времени (t = 0). Фаза измеряется в радианах или градусах.

За период ^ Т на резисторе с сопротивлением R при синусоидальном изменении тока выделится тепловая энергия:

Таким образом, действующий ток численно равен такому постоянному току, который за время t = T выделяет в том же сопротивлении такое же количество тепла, что и переменный.

.

Установим связь между действующим и амплитудным значением гармонического сигнала на примере тока. Если ток изменяется по закону , то

Аналогично получим .

Мгновенная мощность а

где? – сдвиг фазы тока по отношению к напряжению, ;

– постоянная составляющая мгновенной мощности;

– гармоническая составляющая, которая изменяется с двойной угловой частотой.

Средняя мощность за период называется активной мощностью:

.

23) Электрический ток в активном сопротивлении.

Пусть тогда ,

Отсюда .

Сдвиг фаз между напряжением и током .

Поскольку , то для действующих значений справедливо

, где Z – полное сопротивление цепи (импеданс), равное отношению действующих значений напряжения и тока.

Активная мощность

^ 24) Электрический ток в индуктивности.

Индуктивность – элемент цепи, который учитывает энергию магнитного поля . Индуктивные элементы можно рассматривать как аккумуляторы (накопители энергии).

При изменении тока в индуктивности возникает ЭДС самоиндукции e_L. По закону Ленца e_L препятствует изменению тока. Чтобы через индуктивность проходил переменный ток, к ее выводам надо приложить напряжение u_L, равное по величине и противоположное по направлению ЭДС e_L:

где ^ L – коэффициент пропорциональности, называемый индуктивностью Гн.

Так как электрическому току всегда сопутствует магнитное поле, любой обтекаемый током участок цепи, представляющий электротехническое устройство, должен характеризоваться индуктивностью.

Если тогда

Закон Ома для цепи с индуктивным элементом .

Начальная фаза напряжения , сдвиг фаз .

(3.16)

Из выражения следует, что средняя мощность за период, а следовательно, и активная мощность равны нулю. Индуктивность – реактивный элемент.

Мгновенная мощность может быть положительной, отрицательной и равной нулю. Если p (t)? 0, индуктивность заряжается энергией в виде энергии магнитного поля; если p (t)? 0, индуктивность возвращает энергию источнику.

^ Индуктивная проводимость

.

25) Гармонический ток в емкости

Емкостный элемент цепи с емкостью С учитывает энергию электрического поля .

Ток в ветви с емкостью равен скорости изменения заряда на электродах, и при указанном положительном направлении тока знак тока совпадает со знаком производной по времени от заряда q.

.Единица измерения емкости – фарада (Ф).

Пусть тогда

.

Отсюда

Емкостное сопротивление .

Полное сопротивление Z также равно X_C.

Фаза тока , а сдвиг фаз .

Мгновенная мощность

.

Если p (t)? 0, емкость заряжается энергией в виде энергии электрического поля; если p (t)? 0, емкость возвращает энергию источнику. Средняя мощность за период P_ср = 0, а, следовательно, и активная мощность равна нулю, что означает, что происходит обмен энергией без потерь, емкость – реактивный элемент.

проводимость

Дата добавления: 2015-05-06