Решение. Заданная схема имеет ветвей В=6 и узлов У=4

Заданная схема имеет ветвей В=6 и узлов У=4. Количество неизвестных токов равно количеству ветвей, т.е 6. По ЗКТ можно составить
К_ЗКТ =У-1 = 4 – 1 = 3, а по ЗКН К_ЗКН = В-(У-1) = 6 - (4-1) = 3 независимых уравнений, т.е количество неизвестных токов равно количеству независимых уравнений. Следовательно, система имеет однозначное решение. Проведем расчет схемы по ЗК в соответствии с изложенными выше этапами:

1.Произвольно задаем на схеме положительные направления токов во всех ветвях.

2. Выбираем совокупность независимых контуров. Количество независимых контуров К_НК = В-(У-1) = 3. Поскольку схема планарна и изображена без пересечений, то количество независимых контуров можно определить более просто, а именно, К_НК = К_Я = 3. Каждую ячейку будем считать выбранным контуром и произвольно зададим направления обхода в каждом контуре.

3. Запишем уравнения по ЗК. По ЗКТ для любых трех узлов из 4, а именно: для 1,2 и 4:

(1)

(2)

(4)

В этих уравнениях токи, направленные к узлу, учтены со знаком плюс, а от узла – со знаком минус. Легко убедиться в том, что уравнение для узла 3 является линейной комбинацией записанных уравнений, т.е оно линейно-зависимое. Действительно, если сложить эти три уравнения и умножить результат на -1, то получим уравнение для узла 3
(3) .

Запишем уравнения по ЗКН для выбранных контуров:

I

II

III

В итоге имеем 6 уравнений с шестью неизвестными токами, которые позволяют рассчитать численные значения токов в ветвях при заданных значениях сопротивлений и ЭДС.

Задача 2
Рассчитать токи во всех ветвях и напряжения на источниках тока, если извест-ны параметры схемы, т.е заданы значения , R, .
Решение

Схема имеет В=9 ветвей, У=6 узлов и В_i=2 ветвей с источниками тока. Следовательно, необходимо рассчитать токи в семи ветвях и два напряжения на источниках тока.

1. Зададим произвольно положительные направления токов в ветвях и напряжений на источниках тока.

2. Выберем совокупность независимых контуров и зададим направления их обхода. Их количество определяют из выражения

К_НК = В – (У-1) = 9-(6-1) = 4.

Схема содержит ветви с источниками тока, поэтому совокупность независимых контуров следует выбирать таким образом, чтобы каждая ветвь с источником

R₃

R₃

R₇

R₅

Рис. 3
тока принадлежала только одному контуру и в этом контуре она была единственной ветвью с источником тока. В этом случае для расчёта неизвестных величин необходимо будет решить систему из семи совместно решаемых уравнений относительно неизвестных токов и два самостоятельных уравнения (после расчёта токов) относительно напряжений на источниках тока.

Если выбрать контуры по ячейкам, как в предыдущей задаче, то каждая ветвь с источником тока будет принадлежать нескольким контурам, а это приведёт к необходимости решать систему из девяти совместно решаемых уравнений.

Для выбора совокупности независимых контуров построим граф схемы и выберем дерево. Ветви с источниками тока отнесём к ветвям связи.

Ветви связи: 2,4,8,9 (см. рис. 4). Затем, поочерёдно восстанавливая по одной ветви связи, получим совокупность независимых контуров, а именно главных контуров, т.к. каждый контур состоит из ветвей дерева и только одной ветви связи.

Граф схемы Дерево графа

Совокупность независимых контуров

Рис. 4

Покажем выбранные контуры на расчётной схеме.

3. Запишем уравнения по ЗКТ (К_ЗКТ = У-1 = 5) и уравнения по ЗКН для контуров (К_ЗКН = В - (У-1) – В_i = 2), не содержащих ветвей с источником тока

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

I

II

Приведённая система уравнений позволяет рассчитать неизвестные токи.

Для расчёта напряжений на источниках тока запишем уравнения по ЗКН для контуров с источниками тока, т.е. для III и IV контуров.

III

IV

Напряжение U_j2 учитываем со знаком минус, т.к. направление обхода контура противоположно направлению напряжения U_j2.

Напряжение U_j8 учтено в уравнении со знаком плюс, поскольку направление напряжения U_j8 и обхода IV контура совпадают.

Библиографический список

1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. М.: Юрайт, 2012.

2. Зевеке Г.В. и др. Основы теории цепей. М.: Энергоатомиздат, 1989.

3. Под редакцией Бутырина П.А., Коровкина Н.В. Теоретические основы электротехники. Интернет-тестирование базовых знаний: Учебное пособие.

С-П.: ООО Изд-во «Лань», 2012.

4. Белов Н.В., Волков Ю.С. Электротехника и основы электроники: Учебное пособие. С-П.: ООО Из-во «Лань», 2012.

Учебное издание

АНАЛИХ РЕЗИСТИВНЫХ СХЕМ НА ОСНОВЕ ЗАКОНОВ

КИРГОФА И ОМА

Составитель

ОСИПОВ Евгений Георгиевич

Редактор С.П. Клышинская

Технический редактор О.Г. Завьялова

Подписано в печать 22.01.2013. Формат 60х84/16.

Бумага офсетная. Печать – ризография.

Усл. печ. л. 0,62 Уч.-изд. л. 0,56 Тираж 50 экз.

Заказ Бесплатно Изд. № 3

Московский институт электроники и математики Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики».

109028 Москва, Б. Трехсвятительский пер., 3.

Редакционно-издательский отдел Московского института электроники и математики Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики».

113054 Москва, ул. М. Пионерская, 12.

Дата добавления: 2015-05-06