Предел числовой последовательности Теорема о единственности предела. Критерии Коши

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Свойства бесконечно малых последовательностей. Теорема связи между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями.

Последовательность называется бесконечно малой, если для любого малого положительного числа можно подобрать такой номер N, что, начиная с этого номера (т.е. для всех ), будет выполнено неравенство < .

Пример б.м.п. …

Св-ва б.м.п.:

1. -б.м.п.

2. -б.м.п., - огранич. посл-ть -б.м.п.

3. -б.м.п.

4. -б.м.п.,

Последовательность наз-ся полож. бесконечно большой, если для любого большого числа M найдется такой номер N, что для всех n, начиная с этого номера, выполняется неравенство x_n>M.

Пример

Последовательность наз-ся отриц. бесконечно большой, если для любого большого по модулю отриц. числа M найдется такой номер N, что для всех n, начиная с этого номера, выполняется неравенство x_n<M.

Пример

Связь между б.м.п. и б.б.п.: Если -б.б.п. (все ее члены 0), то посл-ть -б.м.п.

Обратная формулировка также верна.

Док-во: Пусть -б.б.п. Возьмем любое >0 и положим . Согласно опр-ю б.б.п. для А сущ-ет номер N такой, что при n>N будет >A. Отсюда получаем, что для всех n>N. A это значит, что -б.м.п.

Число а называется пределом числовой последовательности {x_n}, если для любого положительного числа ε существует номер N такой, что при всех n>N выполняется неравенство .

Обозначение: или .

Геометрический смысл предела числовой последовательности

Число a – предел последовательности x_n, если в любую окрестность числа а, начиная с некоторого номера попадают все члены последовательности .

Теорема "Об единственности пределов"
Посл-ть не может иметь больше одного предела.

Док-во (от противного)
{x_n} имеет два разл. предела a и b (a b). . По определению существует такое число >0, что Получается, что , т.е. a=b.

Для того, чтобы функция f (x) при x → a стремилась к конечному пределу A, необходимо и достаточно, чтобы функция α (x) = f (x) − A была бесконечно малой в точке a.

Доказательство. Необходимость. Если lim x→a f (x) = A, то

∀ε > 0 ∃δ > 0: ∀x ∈ Rδ (a) {a} ⇒ f (x) − A < ε.

Очевидно, что f (x) − A < ε ⇒ α (x) − 0 < ε. Откуда немедленно следует, что

lim x→a α (x) = 0.

Достаточность. Если lim x→a f(x) = 0, то

∀ε > 0 ∃δ > 0: ∀x ∈ Rδ (a) {a} ⇒ α (x) − 0 < ε.

Так как α (x) − 0 < ε ⇒ f (x) − A < ε, то это и означает, что lim x→a f (x) = A.

Доказанную теорему можно сформулировать иначе: функция f (x) при

x → a стремится к конечному пределу A тогда и только тогда, когда f (x)

равна сумме числа A и некоторой функции α (x), бесконечно малой в точке a

f (x) = A + α (x).

(Критерий Коши). Для того, чтобы последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши.

Последовательность удовлетворяет условию Коши, если .

Дата добавления: 2015-03-29