Ошибки системы регулирования в установившихся режимах. Статические и астатические системы

Рассмотрим одну из самых распространённых структурных схем - схему типа следящей системы (рис.2.49), назначение которой - с минимальной ошибкой воспроизвести на выходе командный сигнал .

В общем случае разомкнутая система может быть представлена последовательным соединением объекта (неизменяемой части системы) с передаточной функцией и регулятора (корректирующего звена) с передаточной функцией . Кроме того, учтем дополнительно возмущающее воздействие . С учетом этого передаточная функция разомкнутой системы , а исходная структурная схема примет вид, представленный на рис.2.50.

В соответствии с этой структурной схемой изображение по Лапласу от ошибки зависит как от командного сигнала, так и от возмущения:

, (2.10.4)

где

, (2.10.5)

. (2.10.6)

Широкий класс командных сигналов и возмущающих воздействий может быть представлен степенными функциями времени

. (2.10.7)

Сначала рассмотрим реакцию системы на возмущающее воздействие вида

, (2.10.8)

где и имеет размерность возмущения , деленную на . Такая функция имеет ненулевые производные от нулевого до порядка и нулевые производные порядка выше, чем . Причем

. (2.10.9)

Изображение по Лапласу возмущения (2.10.8) имеет вид

. (2.10.10)

Пусть

, (2.10.11)

(2.10.12)

и

. (2.10.13)

Тогда изображение ошибки можно представить в виде

. (2.10.14)

В соответствии с предельной теоремой преобразования Лапласа, если существует , то

. (2.10.15)

Если , то

. (2.10.16)

Очевидно, в этом случае размерность коэффициента равна отношению размерностей возмущения и ошибки, умноженному на . Такая система называется астатической по возмущающему воздействию с порядком астатизма . Если на вход такой системы подать возмущающий сигнал типа степенной функции времени с , то установившаяся ошибка будет равна нулю.

Если , то нетрудно убедится в том, что если возмущение является единичной функцией

, (2.10.17)

то

. (2.10.18)

Такая система называется статической, поскольку при постоянном возмущении ошибка в статике не равна нулю, пропорциональна величине возмущения и тем меньше, чем больше коэффициент усиления разомкнутого контура .

Аналогичные рассуждения можно провести для случая, когда , а командный сигнал является степенной функцией времени:

. (2.10.19)

В этом случае положим

и . (2.10.20)

Тогда

. (2.10.21)

Такая система при называется астатической по командному сигналу с порядком астатизма, равным . В этом случае коэффициент называется добротностью системы. Его размерность .

Если , то

. (2.10.22)

Если , то .

При система называется статической. Для нее, при

, (2.10.23)

имеем

. (2.10.24)

В рассмотренном случае регулятор содержал интеграторов, то есть был астатическим, а объект интеграторов не содержал – был статическим. Если рассмотреть другой вариант, где, в отличие от (2.10.11), (2.10.12),

и

,

то выводы по отработке командного сигнала не изменятся, а при возмущении (2.10.8)

.

При получаем

,

а при ошибка с течением времени неограниченно растёт.

Таким образом, порядок астатизма системы по отношению к какому-либо внешнему воздействию равен числу интегрирующих звеньев, включенных в обратную связь между координатой ошибки и этим воздействием.

Системой с астатизмом -го порядка по отношению к командному сигналу называется система автоматического управления, вынужденная ошибка которой при отработке сигнала, выражаемого в виде полинома степени по

,

постоянна и пропорциональна величине , то есть старшей производной воздействия. При отработке сигнала, выражаемого полиномом меньшей степени, установившаяся ошибка в такой системе равна нулю.

Изложенные выше рассуждения приводят к выводу, что с точки зрения стремления к уменьшению ошибки желательно иметь более высокий порядок астатизма и более высокое значение . И то и другое, как правило, вступает в противоречие с требованиями устойчивости. Уже синтез устойчивой системы с астатизмом выше третьего порядка ставит перед разработчиком серьёзные проблемы.

ПРИМЕР 2.10.1. Пусть дана система со структурной схемой, представленной на рис.2.51. Система обладает астатизмом 1-го порядка, как по командному, так и по возмущающему воздействиям, так как система содержит один интегратор с передаточной функцией в регуляторе (корректирующем звене). Для данной системы:

1) если и , то ;

2) если , , а – константа или нулевая величина, то кинетическая ошибка

,

где добротность

;

3) если , , а - константа или нулевая величина, то

;

4) если , или , , то ошибка будет непрерывно нарастать.

Дата добавления: 2015-03-31