Подобные многоугольники можно разложить на одинаковое число подобных и одинаково расположенных треугольников

Число k, равное отношению сходственных сторон, называется коэффициентом подобия.

Теорема об отношении площадей подобных многоугольников. Площади подобных многоугольников относятся как квадраты сходственных сторон.

Доказательство:

Для доказательства этой теоремы возьмем внутри многоугольника ABCDE произвольную точку О и соединим ее со всеми вершинами. Тогда многоугольник ABCDE разобьется на столько треугольников, сколько в нем сторон. Выберем один из них, например, DAOB, и на сходственной стороне A₁B₁ другого многоугольника построим углы О₁А₁В₁ и О₁В₁А₁, соответственно равные углам ОАВ и ОВА. Точку пересечения О₁ соединим с прочими вершинами многоугольника А₁В₁С₁D₁E₁. Тогда и этот многоугольник разобьется на столько же треугольников. Докажем, что треугольники первого многоугольника соответственно подобны треугольникам второго многоугольника.

Из определения подобных многоугольников:

Из подобия треугольников АОВ и А₁О₁В₁:

Отсюда: и т. д.

2).

3).

Следствие. Площади подобных многоугольников относятся как квадраты радиусов описанных окружностей или как квадраты радиусов вписанных окружностей.

27. Доказать теорему о площади трапеции. Следствие. Доказать, что длина отрезка, параллельного основаниям трапеции и делящего трапецию на две равновеликих трапеции, равна среднему квадратичному оснований.

Определение 1. Высотой трапеции называется общий перпендикуляр ее оснований (или прямых, содержащих основания).

Теорема о площади трапеции. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований и высоты:

Доказательство:

M

D

N

C

B

А

Следствие из теоремы о площади трапеции. Площадь трапеции равна произве

E

F

M

D

N

C

B

А

дению средней линии и высоты:

Доказательство:

По свойству средней линии трапеции Поэтому

F

E

D

Q

C

P

B

A

Теорема 2. Длина отрезка, параллельного основаниям трапеции и делящего трапецию на две равновеликие трапеции, равна среднему квадратичному оснований:

Доказательство:

1. Пусть AD = a, BC = b, BE = h.

2. По свойству равновеликости площадей:

3. По свойству равносоставленности площадей:

28. Доказать формулу Герона.

ЕА

С

В

А

Теорема Пифагора позволяет решить две важные задачи:

Дата добавления: 2015-04-24