Регрессионный анализ и примеры его применения при управлении качеством

Пример

Оценить влияние технологии чистовой обработки (три вида технологий) на точность изготовления детали. При каждом виде технологии проводится по четыре замера отклонения размера детали от номинала в мкм (см. табл. 2).

Таблица 2

Имеем n = 4, k = 3. Групповые средние

общая средняя

общая сумма квадратов

факторная сумма квадратов

остаточная сумма квадратов

Результаты расчета сводим в табл. 3.

Таблица 3

Из статистической таблицы находим квантиль распределения Фишера

Так как выборочное значение статистики оказалось меньше критического (рис. 4), нулевая гипотеза принимается: в дан­ном случае влияние технологии изготовления на точность дета­ли несущественно.

Рис. 4. Положение критической области при проведении дисперсионного анализа

Подобным образом в двухфакторном дисперсионном анали­зе оценивается влияние двух факторов А и В, а также их взаимо­действия АВ на результативный признак X: проверяются три соответствующие нулевые гипотезы. В трехфакторном анализе по аналогии исследуется влияние на признак X трех факторов А, В и С, их парных взаимодействий АВ, ВС и AC, a также общего взаимодействия ABC.

В регрессионном анализе изучается связь между зависимой пе­ременной Y и одной или несколькими независимыми перемен­ными x_j.

Рассмотрим парную регрессию, когда независимая переменная одна. Предположим, что переменная х (как прави­ло, неслучайная величина) принимает некоторые фиксирован­ные значения х₁, х₂,..., х_n. Соответствующие значения зависимой переменной Y имеют разброс вследствие погрешности измерений и различных неучтенных факторов: у₁, у₂,..., у_n. Предположим, что связь между переменными линейная (рис. 5), тогда соответствующая регрессионная модель имеет вид:

Y=β₀+β₁x+ε

где β₀ и β₁ — параметры линейной регрессии;

ε — случайная ошибка наблюдений.

Рис. 5. Парная линейная регрессия

Предполагается, что ее математическое ожидание равно нулю, а дисперсия постоянна: М[ε] = 0, D[ε] =σ².

Задача регрессионного анализа сводится к оценке парамет­ров регрессии β₀ и β₁, проверке гипотезы о значимости модели и оценке ее адекватности: достаточно ли хорошо согласуется мо­дель с результатами наблюдений?

Для оценки параметров регрессии используется метод наи­меньших квадратов: в качестве оценок принимаются такие зна­чения и , которые минимизируют сумму квадратов откло­нений ε_i наблюдаемых значений y_i от расчетных:

Приравнивая нулю производные по β₀ и β₁, получим зависи­мости для оценивания параметров модели:

где

Прогнозируемое по модели значение зависимой пере­менной

Разности между наблюдаемыми и прогнозируемыми значе­ниями называются остатками, а соответствующая сумма квадра­тов — остаточной суммой квадратов:

Пусть

— общая сумма квадратов; сумма квадратов, обусловленная рег­рессией

Тогда остаточную сумму квадратов можно вычислить, ис­пользуя основное тождество дисперсионного анализа

Парная линейная регрессионная модель называется незна­чимой, если параметр β₁=0. Для проверки нулевой гипотезы H₀: β₁=0 используется статистика

которая при заданном уровне значимости α сравнивается с квантилью распределения Фишера F_1-α (1, n-2) с числами степеней свободы 1 и (n-2).

Если оказывается F> F_1-α (1, n-2), то нулевая гипотеза отклоняется: регрессионная модель статисти­чески значима.

Кроме значимости, проверяется и адекватность модели. При­ближенно адекватность можно проверить по диаграмме рассея­ния с нанесенной на нее расчетной прямой (рис. 6).

Рис. 6. Значимость и адекватность парной линейной регрессии:

а - модель незначима; б - модель значима и адекватна;

в - модель значима, но неадекватна

Дата добавления: 2015-04-24