Обратная матрица

Правило Крамера.

Определитель, его св-ва.

Перестановки и подстановки.

Перестановки - это соед-я, в которых размещ-я из m эл-тов взяты по m – и различаются только порядком эл-тов. Обозначается буквой «P» с индексом m внизу. Число возможных перестановок из m эл-тов равно числу от 1 до m.

В перестановки числа a и b составляют инверсию, если a>b, но большее число стоит раньше меньшего.

Сумма k = k1 + k2 + … + kn-1 – число инверсий, где k – кол-во чисел a, которые стоят раньше b при a>b.

Подстановки – операция, посредством которой от одной перестановки переходят к другой, состоит из тех же самых эл-тов. записывается как:

(3 1 2 4)

(4 2 1 3)

Подстановка четная, если общее число инверсий четно в обеих строках.

Определитель, он же детерминант, - это число, соответствующее квадратной матрице и полученное путем ее преобразования по определенному правилу

для квадратной матрицы: крест-накрест и «-» посередке.

Св-ва:

1. Определитель не меняется при транспонировании.

2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.

3. Если в определителе переставить две строки, определитель поменяет знак.

4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.

5. Если все элементы некоторой строки определителя умножить на некоторое число k, то сам определитель умножится на k.

6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.

7. Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк прибавляются соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

20/ Разложение определителя по эл-там строки(столбца).

Берем строку или столбец, и умножаем каждый ее эл-т на квадратную двуразмерную матрицу. В нее входят эл-ты строк(столбцов), в которых не стоит множитель.

Этоспособ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы.

1. вычислить главный определитель: коэфф от х₁ в матрицу.

2. вычисляем 1-ой определитель: коэфф С, 2, 3 в матрицу.

3. вычисляем 2-ой определитель: коэфф 1,3,С в матрицу.

4. вычисляем 3-ий определитель: 1,2,С в матрицу.

5. для нахождения х₁, х₂, х₃ разделить 1,2,3 определитель на главный.

6. вуаля.

Квадратная матрица В называется обратной для квадратной матрицы А того же порядка, если их произведение А В = В А = Е, где Е - единичная матрица того же порядка, что и матрицы А и В. Матрица, обратная матрице А, обозначается через А^-1.

Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет обратную матрицу и притом только одну.

Как искать:

1. найти определитель: если не равен нулю, продолжаем.

2. Припишем справа к исходной матрице единичную. В полученной расширенной матрице, левая часть есть исходная матрица, а правая единичная. Затем, производя элементарные операции над строками расширенной матрицы, будем приводить левую часть расширенной матрицы к единичной. По достижению указанной цели правая часть расширенной матрицы будет содержать матрицу обратную к исходной.

По диагонали – единицы.

Дата добавления: 2015-04-24