Сложение гармонических колебаний. Векторная диаграмма

Комплексная форма представления колебания.

Амплитуда, круговая частота, фаза гармонических колебаний.

ν = 1/T – частота; Циклическая частота – ω = 2ПИ / t = 2ПИv; S(t)=S(t+T);

Гармонические колебания – это колебания по закону sin или cos.

S(t)=A sin(wt + φ0); φ0 – фаза колебаний; скорость v = Awcos(wt+φ0);

u = -Aw(ст.2) sin(wt+φ0) = - w (ст.2) A sin(wt + φ0) = - w (ст.2) S;

d2 S / dt (ст.2) = - w (ст.2) S; d2 S / dt (ст.2) + w (ст.2) S = 0;

Это дифференциальное уравнение описывает гармонические колебания.

Общим решением этого уравнения является S= A1 sinwt+ A2 coswt; A2=S(0)

dS / dt = A1 w coswt + A2 w sinwt; A1 = (1/w)(dS/dt) при t=0; Общее решение можно привести к виду: S = A sin (wt + φ0), где

A = корень A1(ст.2) + A2(ст.2); амплитуда. φ0 = arctg (A2/A1)

S=Asin(wt + φ0) = Acos(wt + φ1); φ1 = φ0 – ПИ/2; Согласно формуле Эйлера: e (ст. iφ) = cosφ + i sinφ; (i – мнимая единица), поэтому гармонические колебания можно записать в экспоненциальной форме:

S = N e (ст. iwt) = A e (ст. i (wt + φ)) = cos(wt + φ1) + i Asin(wt + φ1)

Графически гармонические колебания можно изобразить с помощью вращающегося вектора на плоскости: (рисунок – оси OX, OY, вектор, угол между ним и OX равен wt + φ0; под графиком подпись S = A sin (wt + φ0)).

Графическое представление гармонических колебаний посредством вращающегося вектора амплитуды A называется методом векторных диаграмм. Рассмотрим с помощью этого метода сложение 2х одинаково направленных гармонических колебаний, одинаковой частоты w.

S1 = A1 cos (w0 t + φ1); S2 = A2 cos (w0 t + φ2); S = S1+ S2 = A cos (w0 t + φ)

Используя теорему косинусов можно получить:

A(ст.2)=A1(ст.2) + A2(ст.2) + 2A1 A2 cos (φ2 – φ1);

tg φ = (A1 sin φ1 + A2 sin φ2) / (A1 cos φ1 + A2 cos φ2)

1) φ2 – φ1 = + - 2ПИn, n = 0,1,2… A=A1+A2; MAX;

2) φ2 – φ1 = + - (2n +1)ПИ; A= |A1 – A2|; MIN – это когерентные волны

Биения. Рассмотрим результат сложения 2х одинаково направленных колебаний, с одинаковой амплитудой, но с мало-различающимися частотами: S1 = A cos wt; S2 = A cos (w+ delta w)t, где delta w намного меньше w; S = S1 + S2 = A [coswt + cos(w + delta w)t]

S = 2Acos(delta w t/2) * cos(wt + (delta w t / 2)).

Так как delta w значительно меньше, чем w, то сомножитель cos(delta w t /2) будет меняться значительно медленнее во времени, чем coswt. Таким образом, результат сложения 2х близких по частоте колебаний можно представить как колебания той же частоты с медленно меняющейся амплитудой, которая равна A0 = |2Acos (delta w t / 2)|. Такие колебаниями с медленно меняющейся амплитудой называются биениями. (рисунок – синусойда и косинусойда, период, высота 2A).

Кинетическая и потенциальная энергия при механическихгармонических колебаниях.

x = A sin (wt + φi); w = dx / dt = Awcos(wt + φ0);

Wk = mv(ст.2)/2 = 1/2 m A (ст.2) w(ст.2) cos(ст.2)(wt + φ0 );

Wп = - (интеграл 0 - x) Fdx; F=ma; Wп = (интеграл 0 - x) m w (ст.2) xdx = mw(ст.2)(интеграл 0 - x) xdx = mw(ст.2) x(ст.2) / 2;

Wп = (m A(ст.2) w(ст.2) / 2) sin (ст.2) (wt + φ0 ); W = Wк + Wп; Полная энергия не зависит от времени! W = m A(ст.2) w(ст.2) / 2; Из привиденного выражения видно, что полная энергия гармонических колебаний пропорциональна квадрату амплитуды колебаний и также пропорциональна квадрату частоты.

Дата добавления: 2015-04-24