Вопрос на миллион

Каждый из нас ежедневно, сам не осознавая этого, задается вопросом: «Как получить наибольший эффект, обладая ограниченными средствами?». Для ответа на поставленный вопрос необходимо составить план (программу действий). Ранее, да и сейчас, план составлялся «на глазок». В сер. XX в. был создан специальный математический аппарат, помогающий это делать «по науке». Соответствующий раздел математики называется математическим программированием. Данное направление развивало и разрабатывало методы оптимизации.

Оптимизационные методы нашли широкое применение в задачах, возникающих в экономике, технике и других областях человеческой деятельности. Например, выбор оптимального портфеля инвестиций, составление расписаний, управление запасами, и др.

В экономике оптимизационные задачи возникают в связи с множественностью возможных вариантов функционирования конкретного экономического объекта. Всегда возникает ситуация выбора варианта, наилучшего по некоторому правилу – критерию, характеризуемому соответствующей целевой функцией (например, ставится задача минимума затрат при максимуме продукции).

Целью решения подобных задач является выбор программы действий.

Общая постановка задачи МП выглядит следующим образом: необходимо определить значения вектора переменных x = (x₁,x₂,…, x_n), которые удовлетворяют ограничениям вида g _i (x₁,x₂,…, x_n) (≥, =, ≤) b_i для всех i = 1,…, m и доставляют максимум или минимум целевой функции f (x₁,x₂,…, x_n) → max (min):

Целевая функция (ЦФ) – это математическое представление зависимости критерия оптимальности от искомых переменных (доход, прибыль, издержки, быстродействие, и т.д.).

Если хотя бы одна из функций g _i (x₁,x₂,…, x_n) или f (x₁,x₂,…, x_n) нелинейная, то такая задача МП называется задачей нелинейного программирования (НЛП). Если же содержатся только линейные функции, то ее называют задачей линейного программирования (ЛП).

Линейность — один из простых для моделирования свойств системы и исследователи пытаются свести реальные задачи к линейному поведению. Большое число задач связано с исследованием сложных систем, таких, которые включают множество элементов, тесно взаимосвязаных с внешней средой. Отсюда в системах возникает нелинейность. Н елинейность есть нарушение принципа суперпозиции в некотором явлении: результат суммы воздействий не равен сумме их результатов. В более гуманитарном, качественном смысле: результат непропорционален усилиям; целое не есть сумма его частей.

Например, человеческие отношения носят крайне нелинейный характер, хотя бы потому, что существуют границы чувств, эмоций, страстей, вблизи которых поведение становится "неадекватным". Кроме того, коллективные действия не сводятся к простой сумме индивидуальных независимых действий. Например, девушка, собравшая поклонников на свой день рождения, рискует вместо праздника получить ссору и лишиться многих из них. В этом и состоит психологическая сложность, нелинейность задачи подбора коллективов фирм. Нелинейна всегда и задача принятия решения, выбора.

Но с свою очередь, линейное программирование можно рассматривать как некоторое приближение в описании сложной системы (см. линеаризация). По словам Фон Неймана, который поддержал концепцию ЛП, предложенную Данцигом в 50-ых гг. 20 вв. «Если у Вас есть условия, удовлетворяющие аксиомам ЛП, можно использовать этот инструментарий» Также, следует отметить, что системы линейных неравенств (в противоположность равенствам) разрешают нам приближать большинство видов нелинейных отношений, с которыми сталкиваются в практическом планировании.

Дата добавления: 2015-04-24