КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Ортоцентр остроугольного треугольника
Теорема о пересечении высот треугольника Свойства серединного перпендикуляра Для данного урока нам полезно знать свойства серединного перпендикуляра к отрезку и свойство трех серединных перпендикуляров треугольника. Задан треугольник . – серединный перпендикуляр к ВС, – серединный перпендикуляр к АС, – серединный перпендикуляр к АВ (см. Рис. 1). Точка О равноудалена от вершин треугольника, Рис. 1 Переходим к рассмотрению центральной теоремы данного урока. Три высоты треугольника пересекаются в одной точке, эта точка носит название ортоцентра (см. Рис. 2). Задан треугольник , , , . Доказать, что Рис. 2 Доказательство: Проведем через вершины треугольника прямые, параллельные их противоположным сторонам: через вершину А – прямую , через вершину В – прямую , через вершину С – прямую . Получили новый треугольник , рассмотрим его свойства (см. Рис. 3). , значит, . Аналогично . Отсюда четырехугольник является параллелограммом. Рис. 3 Противоположные стороны параллелограмма попарно равны, отсюда , . Аналогично , по построению. Четырехугольник – параллелограмм. Отсюда , . , , отсюда . Таким образом, точка А – середина отрезка , а значит, высота АА1 в маленьком треугольнике – это серединный перпендикуляр в большом треугольнике. Аналогичные действия можно выполнить для вершин В и С. Получим, что В – середина отрезка , ВВ1 – серединный перпендикуляр к стороне большого треугольника; С – середина , СС1 – серединный перпендикуляр к стороне большого треугольника. Мы знаем, что серединные перпендикуляры в большом треугольнике АА1, ВВ1, СС1 пересекутся в одной точке – в точке Н. Также мы знаем, что эти серединные перпендикуляры являются высотами маленького треугольника, таким образом, высоты треугольника пересекаются в одной точке Н, что и требовалось доказать.
В треугольнике все медианы и биссектрисы принадлежат треугольнику, чего нельзя сказать о высотах. В остроугольном треугольнике каждая высота принадлежит треугольнику. Задача Треугольник остроугольный, АА1 – высота (см. Рис. 4). Доказать, что основание высоты А1 – это внутренняя точка отрезка ВС. Дано: треугольник , , , , Доказать, что А1 – это внутренняя точка отрезка ВС Рис. 4 Доказательство: Докажем от противного: пусть АА2 – это высота, и точка А2 не является точкой отрезка ВС (см. Рис. 5). Тогда угол – внешний угол для треугольника . Внешний угол равен сумме внутренних углов треугольника, несмежных с ним, то есть углов и , то есть сумме прямого угла и какого-то острого угла, а данная сумма будет больше , то есть угол будет тупой, что противоречит условию. Рис. 5 Таким образом, основание высоты треугольника является внутренней точкой отрезка ВС. Сделаем вывод: аналогичное доказательство можно выполнить для двух других высот остроугольного треугольника , отсюда все три высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника, точка их пересечения – ортоцентр – находится внутри треугольника.
Дата добавления: 2015-04-24; Просмотров: 1018; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |