Обычный алгоритм Монте-Карло интегрирования

Абсолютная погрешность

Формула Симпсона. Оценки погрешности.

Метод парабол (Симпсона)

Суть метода заключается в приближении подынтегральной функции на отрезке интерполяционным многочленом второй степени , то есть приближение графика функции на отрезке параболой. Метод Симпсона имеет порядок погрешности 4 и алгебраический порядок точности 3.

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и нам требуется вычислить определенный интеграл .

Разобьем отрезок [a; b] на n элементарных отрезков длины точками

. Пусть точки являются серединами

отрезков соответственно. В этом случае все "узлы" определяются из

равенства .

Формула метод Симпсона(парабол) имеет вид

.

Метод Монте-Карло - общее название группы численных методов, основанных на получении большого числа реализаций стохастического (случайного) процесса, который формируется таким образом, чтобы его вероятностные характеристики совпадали с аналогичными величинами решаемой задачи. Используется для решения задач в различных областях физики, химии, математики, экономики, оптимизации, теории управления и др.

Обычный алгоритм Монте-Карло интегрирования:

Предположим, требуется вычислить определённый интеграл

Рассмотрим случайную величину , равномерно распределённую на отрезке интегрирования . Тогда также будет случайной величиной, причём её математическое ожидание выражается как
, где — плотность распределения случайной величины , равная на участке .

Таким образом, искомый интеграл выражается как
.

Но матожидание случайной величины можно легко оценить, смоделировав эту случайную величину и посчитав выборочное среднее.

Итак, бросаем точек, равномерно распределённых на , для каждой точки вычисляем . Затем

вычисляем выборочное среднее: .

В итоге получаем оценку интеграла:

Точность оценки зависит только от количества точек .

Этот метод имеет и геометрическую интерпретацию. Он очень похож на описанный выше детерминистический метод, с той разницей, что вместо равномерного разделения области интегрирования на маленькие интервалы и суммирования площадей получившихся «столбиков» мы забрасываем область интегрирования случайными точками, на каждой из которых строим такой же «столбик», определяя его ширину как , и суммируем их площади.

Геометрический алгоритм Монте-Карло интегрирования:

Рисунок 3. Численное интегрирование функции методом Монте-Карло

Для определения площади под графиком функции можно использовать следующий стохастический алгоритм:

ограничим функцию прямоугольником (n-мерным параллелепипедом в случае многих измерений), площадь которого S_par можно легко вычислить;

«набросаем» в этот прямоугольник (параллелепипед) некоторое количество точек (N штук), координаты которых будем выбирать случайным образом;

определим число точек (K штук), которые попадут под график функции;

площадь области, ограниченной функцией и осями координат, S даётся следующим выражением

Для малого числа измерений интегрируемой функции производительность Монте-Карло интегрирования гораздо ниже, чем производительность детерминированных методов. Тем не менее, в некоторых случаях, когда функция задана неявно, а необходимо определить область, заданную в виде сложных неравенств, стохастический метод может оказаться более предпочтительным.

Дата добавления: 2015-04-24