Энергия упругих волн. Вектор Умова. Интенсивность

Стоячие волны. Уравнение стоячей волны. Анализ амплитуды стоячей волны, координаты узлов и пучностей. Роль граничных условий при отражении от границы раздела.

Особым случаем интерференции являются стоячее волны — это волны, образующиеся при наложении двух бегущих воли, распространяющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами и амплитудами, а в случае поперечных волн и одинаковой поляризацией.

Для вывода уравнения стоячей волны предположим, что две плоские волны распространяются навстречу друг другу вдоль оси х в среде без затухания, причем обе волны характеризуются одинаковыми амплитудами и частотами. Кроме того, начало координат выберем в точке, в которой обе волны имеют одинаковую начальную фазу, а отсчет времени начнем с момента, когда начальные фазы обеих волн равны нулю. Тогда соответственно уравнения волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х, и волны, распространяющейся ей навстречу, будут иметь вид

(1.1)

Сложив эти уравнения и учитывая, что k=2v/X, получим уравнение стоячей волны:

(1.2)

Из уравнения стоячей волны (1.2) вытекает, что в каждой точке этой волны происходят колебания той же частоты w с амплитудой Aст=|2А cos (2pх/l)|, зависящей от координаты х рассматриваемой точки.

В точках среды, где (1.3)

амплитуда колебаний достигает максимального значения, равного 2А. В точках среды, где

(1.4)

амплитуда колебаний обращается в нуль. Точки, в которых амплитуда колебаний максимальна (Аст=2А), называются пучностями стоячей волны, а точки, в которых амплитуда колебаний равна нулю (Aст=0), называются узлами стоячей волны. Точки среды, находящиеся в узлах, колебаний не совершают.

Из выражений (1.3) и (1.4) получим соответственно координаты пучностей и узлов:

(1.5)

(1.6)

Из формул (1.5) и (1.6) следует, что расстояния между двумя соседними пучностями и двумя соседними узлами одинаковы и равны l/2. Расстояние между соседними пучностью и узлом стоячей волны равно l/4.

В отличие от бегущей волны, все точки которой совершают колебания с одинаковой амплитудой, но с запаздыванием по фазе (в уравнении (1.1) бегущей волны фаза колебаний зависит от координаты х рассматриваемой точки), все точки стоячей волны между двумя узлами колеблются с разными амплитудами, но с одинаковыми фазами (в уравнении (1.2) стоячей волны аргумент косинуса не зависит от х). При переходе через узел множитель 2Acos(2px/l) меняет свой знак, поэтому фаза колебаний по разные стороны от узла отличается на p, т. е. точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофазе.

Образование стоячих волн наблюдают при интерференции бегущей и отраженной волн. Например, если конец веревки закрепить неподвижно, то отраженная в месте закрепления веревки волна будет интерферировать с бегущей волной и образует стоячую волну. На границе, где происходит отражение волны, в данном случае возникает узел. Будет ли на границе отражения узел или пучность, зависит от соотношения плотностей сред. Если среда, от которой происходит отражение, менее плотная, то в месте отражения возникает пучность, если более плотная — узел. Образование узла связано с тем, что волна, отражаясь от более плотной среды, меняет фазу на противоположную и у границы происходит сложение колебаний с противоположными фазами, в результате чего получается узел. Если же волна отражается от менее плотной среды, то изменения фазы не происходит и у границы колебания складываются с одинаковыми фазами — образуется пучность.

Если рассматривать бегущую волну, то в направлении ее распространения переносится энергия колебательного движения. В случае же стоячей волны переноса энергии нет, так как падающая и отраженная волны одинаковой амплитуды несут одинаковую энергию в противоположных направлениях. Поэтому полная энергия результирующей стоячей волны, заключенной между узловыми точками, остается постоянной. Лишь в пределах расстояний, равных половине длины волны, происходят взаимные превращения кинетической энергии в потенциальную и обратно.

Волновое движение сопровождается переносом энергии от источника колебаний в различные точки среды. Эта энергия складывается из кинетической энергии колеблющихся частиц и потенциальной энергии деформированных участков среды. Энергия, переносимая

волной через некоторую поверхность в единицу времени, называется потоком энергии через эту поверхность. Плотностью потока энергии или интенсивностью волны называется количество энергии, переносимое волной за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны.

Пусть участок волнового фронта площадью за время переместился на расстояние , вследствие чего частицы среды в объеме цилиндра высотой и основанием приводятся в колебательное движение (рис.8.4). Обозначим через среднюю энергию частиц, содержащихся в единичном объеме (плотность энергии). Если считать, что плотность энергии везде одинакова, то за время через площадку пройдет энергия . Тогда интенсивность волны равна

(8.3)

или, в векторной форме,

.

Вектор называется вектором Умова. Он перпендикулярен фронту волны, указывает направление распространения энергии и по модулю равен плотности потока энергии. Объемную плотность энергии можно выразить через энергию каждой частицы и количество частиц в единице объема:

,

(8.4)

где – плотность среды. Подставив это выражение в (8.3), получим:

.

Таким образом, интенсивность упругой волны пропорциональна квадрату амплитуды и квадрату собственной частоты колебаний частиц, плотности среды и скорости распространения волны.

Дата добавления: 2015-04-24