Відображення Ферхюльста

Відображення як модель. Діаграма Ламерея

Еволюція динамічних систем не завжди є гладкою у часі. Наприклад, зміна чисельності біологічної популяції вочевидь є дискретним явищем, описання якого з допомогою апарату диференціальних рівнянь має зрозумілі труднощі. Більш природною у цьому випадку є інша математична техніка – дискретні (точкові) відображення. Простим прикладом такого відображення є математична модель, що описує кількість особин у деякій біологічній популяції у певний момент часу як функцію її чисельності на попередньому кроці:x_n+1 = f(x_n). (Простим прикладом такого відображенняє ряд Фібоначчі: x_n+2 = x_n+1 + x_n).

Конкретизація вигляду функції відображення визначається бажаним рівнем врахування факторів, які впливають на зміну чисельності популяції. Зокрема, за припущення її зростання (народжуваності) у геметричній прогресії і квадратичності обмежувальних факторів (смертність, конкуренція, тощо) прийдемо до відомого логістичного відображення x_n+1 = λx_n – x_n², яке, до речі, є фундаментальною моделлю для багатьох інших задач нелінійної динаміки та терії хаосу.

Зважаючи на x_n+1 = f(x_n), еволюцію системи зручно відображати на діаграмі Ламерея взаємодії графіка функції відображення і бісектриси прямого кута:

Рис. 1. Діаграма Ламерея.

x

f (x)

x₀

x₁

x₁

x₂

Рівняння Ферхюльста появилось при розгляді моделі росту чисельності населення. Вихідні дані для виведення рівняння при розгляді популяційної динаміки виглядяють так:

– швидкість розмноження популяції пропорційна її поточній чисельності при рівності інших умов

– швидкість розмноження популяції пропорційна к–сті доступних ресірсів при рівності інших умов.

Таким чином, другий член рівняння відображає конкуренцію за ресурси, яка обмежує зростання популяції.

Позначимо чисельність популяції Р, а час – t, тоді модель зведеться до диференціального рівняння:

dP/dt = rP (1 – P/K), де параметр r характеризує швидкість зростання, а K –ємність середовища (тобто максимально можлива чисельність популяції).

Точним розв'язком рівняння (де P₀ – початкова чисельність) є логістична функція, S–подібна крива:

P(t) = KP₀e^rt / (K + P₀(e^rt – 1)), де lim_t→∞P(t) = K.

Дискретним анаглогом цього рівняння є відображення Ферхюльста – точкове відображення, в якому залежності від параметра проявляється широке коло синергетичних ефектів, таких як атрактори, граничні цикли, подвоєння періоду, детермінований хаос.

Відображення задається ітераційною формулою x_n+1 = rx_n(1 – x_n), де n – крок, r – параметр. Початковою може бути будь–яка точка інтервалу (0, 1). Параметр rможе мати значення від 0 до 4.

Біфуркаційна діаграма відображення:

Дата добавления: 2015-05-08