Сценарій Рюеля–Такенса–Ньюхауза

Сценарій Рюеля – Такенса. Після біфуркації Андронова – Хопфа відбувається збудження коливань зі ще одною частотою (як це може мати місце у системі зв’язаних автогенераторів), потім – ще з одною. У фазовому просторі утворюється відповідно спочатку двовимірний, а потім тривимірний тор. Але, як показали Рюель і Такенс, таке утворення є нестійким, і зображуюча точка спонтанно перестрибує на дивний атрактор – рух системи стає хаотичним.

Ілюстрацією до описаного сценарію може служити спостереження так званих вихорів Тейлора в рідині, що налита між двома циліндрами, один з яких обертається (рис.2.6.3). В ролі керуючого параметра виступає швидкість обертання ω. При її зростанні спочатку виникають вихори з однією частотою, яку фіксує датчик, занурений у рідину. При подальшому зростанні w з’являється друга частота автоколивань, потім третя, після чого система сама собою переходить у стан турбулентності.

Рис.2.6.3. Схема спостереження вихорів Тейлора.

Сценарій Рюеля–Такенса–Ньюхауза. Розглянемо M ≥ 3 дисипативних підсистем, які виконують незалежні між собою автоколивання (тобто на частотах, що знаходяться в ірраціональних співвідношеннях). Атрактором такої системи буде М–мірний тор. Тепер введемо деякий зв’язок між підсистемами, тобто незалежні рівняння їх моделей зведемо у єдину систему (прикладом є система Лоренца). Рюель і Такенс довели, що за будь–якого, навіть найслабшого, зв’язку між підсистемами можна підібрати такі його вид і параметри, котрі призведуть до появи дивного атрактора (отже й хаосу) у всій системі.

Більше того, далі Рюель і Такенс отримали ще дивовижніший результат. Уявімо собі простір фунцій, які стоять у правих частинах динамічних рівнянь моделі системи. Виявляється, що в довільно малому околі будь–якої точки цього простору, що відповідає незв’язаним (регулярним) автоколиванням підсистем існує всюди щільна множина точок, які призводять до хаотичної динаміки.

Дата добавления: 2015-05-08