Уравнение Бернулли - основное уравнение гидравлики

Бубнов В.Б., Чистова И.Н., Снегирев Д.Г. Гидравлика. Противопожарное водоснабжение (лабораторный практикум): Учебное пособие.- Иваново: ООНИ ИвИ ГПС МЧС России, 2007- 125 с.

4. Бубнов В.Б., Колпаков А.В., Снегирев Д.Г. Гидравлика. Примеры и задачи. Учебное пособие.- Иваново: ООНИ ЭКО Ивановского института ГПС МЧС России, 2010. – 139 с.

Дополнительная

1. Шейпак А.А. Гидравлика и гидропневмопривод: Уч. пособие. ч. 1. Основы механики жидкости и газа.- М.: МГИУ, 2005- 192 с.

2. Калекин А.А. Гидравлика и гидравлические машины.- М.: Мир, 2005.- 512 с.

3. Штеренлихт Д.В. Гидравлика: Учебник для вузов. 3-е изд., перераб. и доп.- М.: КолосС, 2005.- 656 с.

4. Гидравлика, водоснабжение и канализация: Учеб. пособие для вузов/ В.И.Калицун, В.С.Кедров, Ю.М.Ласков.- 4-е изд. перераб. и доп.- М.: Стройиздат, 2003.- 397 с.

Для двух сечений потока 1—1 и 2—2 реальной жидкости (рисунок 1) при установившемся плавно изменяющемся движении уравнение Бернулли имеет вид:

z₁ + p₁/γ + α₁υ₁²/(2g) = z₂ + p₂/γ + α₂υ₂²/(2g) + Σh_п (1)

где z — ордината, определяющая высоту положения центра выбранного сечения над произвольной горизонтальной плоскостью сравнения 0—0; p/γ — пьезометрическая высота; z + p/γ = H_п — гидростатический напор; αυ²/(2g) = h_v — скоростная высота, или скоростной напор; α — коэффициент Кориолиса, учитывающий неравномерность распределения скоростей в живом сечении потока.

Сумма трех членов:

z + p/γ + αυ²/(2g) = H

есть полный напор; Σh_п — потеря напора между выбранными сечениями потока. Вместо выражения (1) можно написать:

H₁ = H₂ + Σh_п

Все члены уравнения Бернулли в формуле (1) имеют линейную размерность и в энергетическом смысле представляют удельную энергию жидкости, т. е. энергию, отнесенную к единице веса жидкости.

Так, z и p/γ - удельная потенциальная энергия соответственно положения и давления;
z + p/γ - удельная потенциальная энергия жидкости;
αυ²/(2g) - удельная кинетическая энергия, выраженная через среднюю скорость потока в данном сечении. Сумма всех трех членов z + p/γ + αυ²/(2g) = H представляет полный запас удельной механической энергии жидкости в данном сечении потока;
Σh_п - удельная механическая энергия, затрачиваемая на преодоление сопротивления движению жидкости между сечениями потока и переходящая в тепловую энергию, которая состоит из следующих слагаемых:

Σh_п = Σh_дл + Σh_мест

где Σh_дл — потери энергии (напора) на трение по длине; Σh_мест — местные потери энергии (напора).

Если уравнение (1) умножить на γ, то получим:

γz₁ + p₁ + γα₁υ₁²/(2g) = γz₂ + p₂ + γα₂υ₂²/(2g) + γΣh_п (2)

Члены уравнения (2) имеют размерность давления и представляют энергию, отнесенную к единице объема.

Если уравнение (1) умножить на g, то получим

gz₁ + p₁/ρ + α₁υ₁²/2 = gz₂ + p₂/ρ + α₂υ₂²/2 + gΣh_п (3)

Члены уравнения (3) имеют размерность м²/с² и представляют энергию, отнесенную к единице массы.

РИСУНОК 1

На рисунке 1 приведена диаграмма уравнения Бернулли для потока реальной жидкости. Здесь 0—0 — плоскость сравнения; N—N — плоскость начального напора; Н—Н — напорная линия, или линия полной удельной энергии. Падение ее на единицу длины представляет гидравлический уклон J; Р—Р — пьезометрическая линия, или линия удельной потенциальной энергии. Падение ее на единицу длины представляет пьезометрический уклон J_п.

Так как общий запас удельной энергии вдоль потока непрерывно уменьшается, линия Н—Н всегда нисходящая, а гидравлический уклон всегда положительный (J>0). Пьезометрическая линия может быть и нисходящей, и восходящей (последнее имеет место на расширяющихся участках, когда средняя скорость потока уменьшается), поэтому пьезометрический уклон может быть и положительным (J>0), и отрицательным(J<0).

На участках с равномерным движением жидкости, где имеют место только потери напора на трение по длине, линии Н—Н и Р—Р представляют взаимно параллельные прямые, поэтому J = J_п =h_дл/L. В этом случае потеря напора может быть определена по разности гидростатических напоров:

h_дл = (z₁ + p₁/γ) - (z₂ + p₂/γ)

РИСУНОК 2

Для горизонтальных участков потоков (z₁=z₂) или в случае, если плоскость сравнения 0—0 проведена по оси потока (z₁=z₂= 0) (рисунок 2), потеря напора на трение по длине может быть определена непосредственно по разности показаний пьезометров:

h_дл = (p₁ — p₂)/γ

На рисунке 3 показаны линия энергии Н—Н и пьезометрическая линия P—P для трубопровода переменного сечения, соединяющего два открытых резервуара.

РИСУНОК 3

Истечение жидкости из отверстий и насадков Истечение из малых отверстий в тонкой стенке сосуда

Отверстие можно считать малым, если его высота меньше одной десятой части напора, под которым происходит истечение.

Скорость вытекания жидкости из открытого сосуда через отверстие определяют по формуле

,

где H и  p – напор и избыточное давление в центре отверстия;  – коэффициент скорости, учитывающий потери напора, обусловленные протеканием жидкости через отверстие.

При истечении из закрытого сосуда с давлением р на поверхности жидкости в среду с давлением р _о скорость истечения находят по формуле

.

Расход жидкости, вытекающей из отверстия равен:

,

где  – коэффициент сжатия струи; S _о – площадь сечения отверстия;  – коэффициент расхода отверстия.

Число Рейнольдса при истечении из отверстий определяют по скорости истечения, т.е. для истечения из открытого сосуда оно имеет вид

.

При истечении с большими значениями числа Рейнольдса (Re _H >100000) можно принимать следующие значения коэффициентов истечения:  = 0,62 – 0,63;  0,97 – 0,98;  = 0,61.

При истечении с малыми числами Рейнольдса все коэффициенты истечения зависят от значений Re _H. Для определения коэффициента расхода используют приближенные формулы:

при Re _H < 25

;

при 25 < Re _H < 300

;

при 300 < Re _H < 10000

;

при Re _H > 10000

.

При истечении жидкостей с малой вязкостью через отверстия малого диаметра и при небольших напорах на коэффициент расхода оказывает влияние поверхностное натяжение.

Истечение из насадков и коротких труб

Короткую трубку , присоединенную к отверстию для изменения характеристик истечения, называют насадком. Формула расхода для насадков та же, что и для отверстий в тонкой стенке. Отличие в расходе учитывают с помощью коэффициента расхода насадка  _н. Для насадков разных типов в автомодельной относительно числа Рейнольдса области истечения значения коэффициентов расхода приведены в приложении П 1.11.

При истечении из коротких трубопроводов следует учитывать не только местные сопротивления, но и потери на трение. При этом расчетная зависимость имеет вид

,

где – коэффициент расхода системы (при истечении под уровень – ).

Местные потери давления в трубах

Местные сопротивления, к которым относят арматуру, фасонные части трубопроводов и прочее оборудование, вызывают изменения величины и (или) направления скорости движения жидкости на отдельных участках трубопроводов, что приводит к потерям давления в них. Потери давления определяют по формуле Вейсбаха:

.

Значения коэффициентов местных сопротивлений  зависят от конфигурации местного сопротивления и режима течения жидкости перед ним.

При внезапном сужении трубопровода (резком изменении площади проходного сечения от S ₁ до S ₂) коэффициент местного сопротивления

,

где  – коэффициент сжатия струи, который можно определить по формуле А.Д. Альтшуля:

,

где .

Коэффициент местного сопротивления диафрагмы, расположенной внутри трубы постоянного сечения (отнесенный к сечению трубопровода):

,

где n _д = S _o / S – отношение площади отверстия диафрагмы S _o к площади сечения трубы S.

При движении жидкости с малыми числами Рейнольдса коэффициенты местных сопротивлений ориентировочно определяют по формуле А.Д. Альтшуля:

,

где – значение коэффициента местного сопротивления в квадратичной области; Re – число Рейнольдса, отнесенное к нестесненному сечению трубопровода.

Значения параметра А и для некоторых местных сопротивлений приведены в приложении (см. табл. П 1.10).

Если расстояние между отдельными местными сопротивлениями достаточно велико для того, чтобы искажение эпюры скоростей, вызванное одним из них, не сказывалось на следующем, потери давления во всех местных сопротивлениях суммируют. Для этого необходимо, чтобы местные сопротивления отстояли друг от друга на расстояние, превышающее l _вл, определяемое по формулам:

для турбулентного движения

,

где  – коэффициент трения трубы, на которой расположено местное сопротивление;

при малых числах Рейнольдса

.

Дата добавления: 2015-05-23