Зворотний хід

З останнього рівняння знаходимо . Далі визначаємо , а потім і т.д. до x₁ c допомогою співвідношення:

(4.5)

в) метод прогону. Даний метод застосовується для розв'язку трьох діагональних систем:

(4.6)

Метод складається з двох етапів прямого прогону - і зворотного прогону.

Прямий прогін: Величина x_i виражається через x_i+1 за допомогою коефіцієнтів A_i, B_i

. (4.7)

З першого рівняння знаходяться значення A₁ і B₁:

, . (4.8)

Підставляючи x₁=A₁·x₂+B₁ у друге рівняння (4.6) отримують:

a₂(A₁x₂+B₁)+b₂x₂+c₂x₃=d₂,

або

Згідно (4.7) знаходять A₂ і B₂

, (4.9)

Тобто знаючи A₁ і B₁ за цією формулою можна обчислити A₂ і B₂. Аналогічно підставляючи значення x_i-1=A_i-1x_i+B_i-1 в i -те рівняння (замінивши в (4.8) індекс і на індекс і- 1, а індекс 2 - на індекс i) маємо:

a_i(A_i-1x_i+B_i-1)+b_ix_i+c_ix_i+1=d_i, i=1,2,...n.

Звідси можна записати загальну формулу для прямого прогону:

, i=2,...,n; (4.10)

яка дозволяє визначити наступні значення A_i, B_i через попередні A_i-1, B_i-1.

Після n кроків одержується значення A_n і B_n. Оскільки c_n=0, то A_n=0. Отже підстановкою у (4.7) є: x_n=B_n.

Зворотний прогін складається з послідовних обчислень за формулою (4.7) значень x_n-1, x_n-2 і т.д. до x₁.

Якщо для трьохдіагональної системи виконані умови çb_iç³ça_iç+çc_iç, ½b_i½>½a_i½, i=1,...,n, то ця система має єдиний розв'язок.

Ітераційні методи

Ці методи використовуються, як правило, при розв’язку рівнянь великого порядку, оскільки при ітераційному процесі не накопичується помилка заокруглення.

Задається деяке наближений розв'язок x⁽⁰⁾, потім виконується цикл обчислень (ітерацій) і обчислюється нове наближення x⁽¹⁾. Процес продовжується до одержання розв'язку із заданою точністю, тобто до виконання умов:

, i=1,2,...,n.

а) метод простої інтерполяції (Метод Якобі). Система рівнянь (4.1) зводиться до виду:

(4.11)

Задаються значення нульового наближення й обчислюється значення першого наближення , потім за допомогою обчислюється значення і т.д. до . Процес повторюється для значень Тут при обчисленні k наближення для використовується k-і наближення для значень і k-1 наближення для значень .

б) метод Гаусса-Зейделя. У цьому методі система (4.1) також зводиться до виду (4.11), при цьому для обчислення всіх значень k наближення для використовуються тільки значення (k-1) наближення .

Для збіжності інтерполяційного процесу Якобі і Гаусса-Зейделя достатньо виконання умови:

(4.12)

4.3 ЗАВДАННЯ

1 Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь, коефіцієнти якої приведені в таблиці завдань.

2 Показати, що використовуваний метод має єдиний розв'язок у випадку використання прямого методу або сходиться у випадку ітераційного методу.

3 Написати програму і розв’язати на ЕОМ за допомогою цих методів систему рівнянь і порівняти результати.

4.4 КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ

1 Матрична форма запису системи лінійних рівнянь.

2 Що таке визначник?

3 Необхідна і достатня умова існування єдиного розв'язку системи лінійних рівнянь.

4 Визначення зворотної матриці. Умова її існування.

5 Що таке одинична матриця?

6 Основні методи розв'язку системи лінійних рівнянь.

7 Правило Крамера.

8 Методи Гаусса, Жордана-Гаусса.

9 Метод прогону.

10 Умова одиничності розв’язку методом прогону.

11 Ітераційні методи Якобі, Гаусса-Зейделя.

12 Достатня умова збіжності ітераційних методів Якобі і

Гаусса-Зейделя.

4.5 ТАБЛИЦЯ ІНДИВІДУАЛЬНИХ ЗАВДАНЬ

№	Матриця системи	Права частина
	0.401 -0.029 0.000 0.000	0.301 -0.500 -0.050 0.000	0.000 -0.018 -1.400 -0.007	0.000 0.000 -0.039 -2.300	0.122 -0.253 -0.988 -2.082
	-1.700 0.002 0.000 0.000	0.003 0.800 -0.002 0.000	0.000 0.001 -0.100 -0.003	0.000 0.000 0.030 -1.600	0.681 0.480 -0.802 -1.007
	-3.000 -0.011 0.000 0.000	0.001 2.100 0.005 0.000	0.000 0.5200 1.200 -0.010	0.000 0.000 0.600 -0.300	1.514 1.478 1.083 -1.007
	4.300 0.100 0.000 0.000	0.217 -3.400 0.090 0.000	0.000 -0.207 2.500 0.080	0.000 0.000 0.197 -1.600	2.663 2.778 2.533 1.928
	-5.600 0.147 0.000 0.000	0.268 4.700 -0.150 0.000	0.000 0.271 -3.800 0.153	0.000 0.000 0.274 2.900	4.032 4.313 4.235 3.797
	6.900 0.191 0.000 0.000	0.319 -6.000 -0.205 0.000	0.000 -4.040 5.100 0.020	0.000 0.000 0.000 4.200	5.664 6.112 6.201 5.937
	-8.200 0.234 0.000 0.000	0.370 7.300 0.260 0.000	0.000 5.600 -0.340 0.268	0.000 0.000 -0.422 5.500	7.559 8.175 8.421 8.322
	9.500 0.278 0.000 0.000	0.422 8.601 0.315 0.000	0.000 0.459 7.700 0.351	0.000 0.000 0.496 6.803	9.719 10.500 10.915 10.978
	10.800 0.321 0.000 0.000	-0.5760 9.900 0.369 0.000	0.000 7.300 9.000 0.416	0.000 0.000 -6.060 8.100	12.143 13.089 13.674 13.897
	-1.100 0.365 0.000 0.000	0.528 0.113 -0.423 0.000	0.000 0.536 1.031 0.481	0.000 0.000 0.534 -0.570	14.830 15.941 16.969 17.081
	13.400 -0.408 0.000 0.000	0.581 12.500 0.477 0.000	0.000 -0.650 -11.600 0.546	0.000 0.000 0.781 10.700	17.782 19.593 19.974 20.528
	30.300 0.975 0.000 0.000	0.153 -29.400 0.117 0.000	0.000 0.011 -2.500 10.700	0.000 0.000 1.660 27.600	80.168 83.578 86.609 89.278
	0.161 0.109 0.000 0.000	0.332 -0.301 -0.060 0.000	0.000 -0.150 0.171 0.145	0.000 0.000 0.051 -0.298	86.814 90.358 19.861 93.502
	-22.500 0.714 0.000 0.000	-0.956 21.600 0.855 0.000	0.000 0.109 20.714 -0.996	0.000 0.000 0.124 19.800	45.802 48.261 50.343 52.453
	26.400 0.840 0.000 0.000	0.117 -25.513 0.105 0.000	0.000 0.198 24.600 0.000	0.000 0.000 -8.810 2.451	61.853 64.730 63.880 59.376

Дата добавления: 2015-05-23