Нелінійні алгебричні рівняння

Розглянемо систему нелінійних рівнянь (СНР) з n невідомими:

. (3.6)

Її можна записати у векторному вигляді:

(3.7)

де і .

Розв’язання (3.6) — набагато складніша задача, ніж розв’язання одного рівняння. Такі системи, як правило, розв’язують лише ітераційними методами.

Якщо то за нульове наближення до розв’язку можна взяти координати точок перетину графіків

і

До речі, якщо де замість такого рівняння можна розглядати систему нелінійних рівнянь:

(3.8)

де

Для трьох і більше невідомих задовільних способів знаходження нульових наближень немає, але іноді можна вибрати, виходячи з фізичних міркувань або аналізу задачі.

Удаючись до методу Ньютона (МН) знаходження розв’язку (3.6), якщо відомий будь-який наближений розв’язок до , здійснюють розв’язанням методом Гаусса такої СЛАР відносно приростів :

(3.9)

Тут

Розв’язавши СЛАР методом Гаусса (МГ), знайдемо наступні наближення:

(3.10)

За вдалого вибору розрахунки за методом Ньютона збігатимуться, і досить швидко (3 – 5 ітерацій).

На практиці ітерації припиняють за виконання умови

(3.11)

Приклад 3.2. Знайдемо методом Ньютона наближене значення розв’язку СНР

за початкового наближення = (1.5, -1.5), яке є точкою перетину графіків і

Лістинг 3.2. Файл newton:

// newton

// Розв’язання СНР (3.7) методом Ньютона (3.9)

function [s, x1] = newton(x, eps, smax);

// x – нульове наближення, eps – точність визначення

// кореня, smax – допустиме число ітерацій.

// s – число виконаних ітерацій, x1 – розв’язок (3.6)

s=0;

while (s<=smax) then

s=s+1;

// Звернення до sfdf для обчислення складових СНР (3.9)

[ff,dd] = sfdf(x);

//Модифікація ПЧ СНР (3.9)

ff(1)=-ff(1);

ff(2)=-ff(2);

// Розв’язання СЛАР (3.9) МГ на кожній ітерації

CC=rref([dd ff]); [NN,MM]=size(CC); dx =CC(:,MM);

// Уточнення розв’язку за (3.10)

x(1)=x(1)+dx(1);

x(2)=x(2)+dx(2);

// Перевірка виконання умови (3.11)

if(sqrt((dx(1)^2+dx(2)^2)/2)<=eps) then

break;

end

end;

x1=x

endfunction;

// Функція sfdf формування складових СНР (3.9)

function [ff,dd] = sfdf(x);

x1=x(1); x2=x(2);

// Обчислення матриці СНР (3.9)

dd (1,1) = x1*2; dd(2,1) = exp(x1);

dd (1,2) = x2*2; dd(2,2) = 1;

// Обчислення ПЧ СНР (3.9)

ff(1)=x1*x1+x2*x2-4; ff(2)=exp(x1)+x2-1;

endfunction;

//main program

// Коментар до фактичних параметрів функції newton

//[s, x1] = newton(x, eps, smax)

[s, x1] = newton([1.5 -1.5], 0.001, 9)

Результати виконання newton

X1(1) = 1.0041687 x1(2) = - 1.7296373 s = 4.

Дата добавления: 2015-05-23