Теоретичні відомості. Вивчення власних коливань пружинного маятника

Вивчення власних коливань пружинного маятника

Мета роботи: вивчення коливальних процесів за допомогою пружинного маятника.

Коливанням називається процес, в якому деяка його характеристика послідовно відхиляється то в один, то в іншийбік від певного значення. Коливаються температура повітря, гілки дерева, магнітне поле Землі тощо.

Коливання бувають періодичними і неперіодичними. Неперіодичні коливання можна розкласти на періодичні складові, тому важливим є вивчення періодичних коливань.

Періодичними коливними процесами називаються такі, під час яких стан тіла або системи тіл повторюється через певні однакові проміжки часу. Такі процеси описуються періодичною функцією , де найменший час повторення ‑період функції, ‑ довільне ціле число. Таку властивість мають, наприклад, коливання маятника годинника, коливання струни, зміна напруги між обкладками конденсатора в коливальному контурі. На вченні про коливання і хвилі базується акустика, радіотехніка, оптика, машинобудування, та інші розділи науки і техніки.

Велике значення має теорія коливальних процесів і в механіці, особливо при розрахунку на міцність різних машин та конструкцій. Розрізняють коливання за їхньою фізичною природою (механічні, теплові, електричні і т. д.), за способами збудження (власні коливання, вимушені коливання, автоколивання) і за кінематичними ознаками, тобто за характером зміни коливних величин з часом. Описують коливання двома способами: аналітичним, тобто за допомогою рівнянь, і графічним ‑ наочним зображенням зміни коливної величини з часом. За кінематичними ознаками коливання бувають дуже різноманітні, найважливішими і найпростішими є гармонічні коливання, на які можна розкласти періодичні коливання будь-якої форми.

Розглянемо механічні коливання. У процесі механічних періодичних коливань повторюється положення, швидкості і прискорення тіл або їх частин під дією різних сил: сили тяжіння, пружної сили, капілярної та інших. Силу, під дією якої відбувається коливний процес, називають повертальною силою, оскільки вона намагається тіло, відхилене від положення рівноваги, повернути в це положення.

Залежно від характеру дії на тіло, що коливається, розрізняють вільні (або власні), вимушені коливання та автоколивання.

Вільні (або власні) коливання маємо тоді, коли на тіло діє тільки повертальна сила, і відбуваються вони в системі, яка залишена сама на себе після того, як їй надали поштовху, що вивів її з положення рівноваги.

Вільні коливання є незгасаючими, якщо не відбувається розсіяння енергії в довколишній простір. Однак реальні коливальні процеси є згасаючими,оскільки на тіло, що коливається, діють сили опору руху, в основному сили тертя.

Вимушені коливання здійснюються під дією зовнішньої сили, що змінюється періодично.

Автоколивання, як і вимушені коливання, супроводжуються дією на систему, що коливається, зовнішніх сил, однак моменти часу, коли здійснюється цей вплив, задаються самою системою ‑ система сама керує зовнішнім впливом.

Власні коливання є не тільки найбільш поширеними, а й найважливішими в теорії коливних процесів. Умови виникнення й характер вимушених коливань здебільшого суттєво залежать від характеру власних коливань, властивих системі.

Найпростішими періодичними коливаннями є гармонічні ‑ такі коливання, за яких зміщення тіла від положення рівноваги залежить від часу за законом косинуса або синуса. Цей вид коливань також є важливим з таких причин: по-перше, коливання в природі і техніці часто мають характер, досить близький до гармонічного, і, по-друге, періодичні процеси іншої форми (з іншою залежністю від часу) можуть бути представлені як накладання декількох гармонічних коливань.

Гармонічне коливання матеріальної точки здійснюється під дією повертальної сили ,що пропорційна зміщенню, тобто:

. (1)

Розглянемо систему ‑ тягарець масою на пружині, масою якої знехтуємо (рис. 1). У стані рівноваги сила зрівноважується пружною силою :

.

Рис. 1. Пружинний маятник.

При зміщенні тягарця від положення рівноваги відстань видовження пружини стане , а проекція результуючої сили на вісь (позначимо цю проекцію літерою ) матиме значення:

. (2)

Враховуючи умову рівноваги , одержимо . Знак "-" означає, що зміщення і сила мають протилежні напрями. Сила пропорційна зміщенню тягарця з положення рівноваги і завжди має напрям до положення рівноваги.

Рівняння другого закону Ньютона для тягарця масою на пружині з коефіцієнтом пружності має вигляд:

, (3)

або

, (4)

оскільки ‑ прискорення, . Зведеморівняння (4) до вигляду:

. (5)

Рух тягарця під дією сили, що змінюється за законом (2), описується лінійним однорідним диференціальним рівнянням другого порядку. Розв’язок цього рівняння має вигляд:

, (6)

або

. (7)

При цьому повинна здійснюватись умова: .

Отже, рух систем, що перебувають під дією сили , являє собою гармонічне коливання.

Зміщення матеріальної точки будемо визначати за формулою (6), тоді швидкість її одержимо у вигляді:

. (8)

I прискорення:

. (9)

З порівняння (6) і (8) слідує, що при гармонічному коливальному русі прискорення тіла прямопропорційне зміщенню його від положення рівноваги і має протилежний йому знак, тобто:

. (10)

Виразивши циклічну частоту через період , з (8) і (9) одержимо:

; . (11)

З цих рівнянь зрозуміло, що швидкість і прискоренню точки, що коливається, є періодичними функціями, з періодом ,тобто з періодом коливального процесу. З рівняння (10) можна зробити такі висновки: 1) прискорення при гармонічних коливаннях пропорційне зміщенню і протилежне до нього за напрямом: 2) відношення є сталою величиною,оскільки циклічна частота гармонічних коливань даного тіла або системи незмінна.

Розглянемо графіки , , , прийнявши . Тоді:

, (12)

де відповідає максимальному значенню швидкості і називається амплітудою швидкості,

, (13)

де ‑ максимальне значення прискорення, називається амплітудою прискорення. Порівнюючи рівняння (12), (13), можна відзначити, що вони змінюються за однаковим гармонічним законом, однак фаза швидкості відмінна від фази зміщення на , а фаза прискорення ‑на .

На рис. 2 представлені графіки , , , причому час позначається в частках . Період відповідає зміні фази на , а час ‑ фазі .

Гармонічне коливання може бути задане також за допомогою вектора, довжина якого дорівнює амплітуді коливань, а напрям утворює з віссю кут, що дорівнює початковій фазі коливання. Таке графічне зображення коливального процесу називається векторною діаграмою.

Рис. 2. Графік коливань , і .

Дата добавления: 2015-05-24