Означення границі функції і її властивості

Завдання для самостійного розв’язування.

2.1 Скориставшись означенням границі довести, що

а) . б) .

2.2 Впевнитись, що послідовність не має границі при необмеженому зростанні .

Розглянемо приклади, що розкривають зміст поняття границі функції.

Приклад 3.1. Розглянемо функцію в деякому околі точки . З цього околу виберемо довільну послідовність аргументу , наприклад . Обчисливши значення функції для кожного члена послідовності, одержимо послідовність відповідних значень . Очевидно . Виберемо іншу послідовність значень аргументу з того ж самого околу, наприклад, . Складена для неї послідовність відповідних значень заданої функції має вигляд: . Очевидно . Отже, для довільних послідовностей аргументу послідовність відповідних значень заданої функції має одну і ту ж границю 1.

Приклад 3.2. Розглянемо функцію в околі радіуса 1 якої-небудь цілої точки, наприклад, . Виберемо в лівому півоколі довільну послідовність , наприклад, . Очевидно для будь-якого . Складемо для неї послідовність відповідних значень заданої функції. Одержимо послідовність , яка має границю 0. Виберемо тепер в правому півоколі довільну послідовність , наприклад, . Очевидно для будь-якого . Складемо для неї послідовність відповідних значень заданої функції. Одержимо послідовність , яка має границю 1. Таким чином, на відміну від попереднього прикладу для різних послідовностей аргументу, що мають границю 1, послідовності відповідних значень функції , мають різні границі.

Означення 1 (за Гейне). Нехай функція визначена в деякому околі точки , за винятком, можливо, самої точки . Число називається границею функції при (або в точці ), якщо для будь-якої послідовності аргументів і такої, що , відповідна послідовність значень функції має одну і ту ж границю А.

Символічний запис: .

Як приклад, , а функція не має границі в точці .

Для доведення деяких властивостей функцій, що мають границю, використовують означення границі функції за Коші:

Означення 2. Число називається границею функції при , якщо для існує число таке, що з нерівностей випливає нерівність .

Можна довести, що означення границі функції за Коші і Гейне рівносильні.

Означення. Число називається лівою (правою) границею функції при , якщо для будь-якої послідовності аргументів і такої, що , відповідна послідовність значень функції має одну і ту ж границю .

Позначення: , .

Ліва і права границі називаються односторонніми границями. Очевидно, для того щоб функція при мала границю, необхідно і достатньо щоб вона мала ліву і праву границі при і вони були рівні.

Властивості функцій, що мають границю.

Теорема 1. (про обмеженість). Якщо функція має границю при , то в деякому околі точки вона обмежена.

Теорема 2. (про збереження знаку). Якщо функція має границю при , то в деякому околі точки функція зберігає знак границі.

Зауважимо, що обидві теореми носять локальний характер, тобто виконуються для точок, що лежать поблизу точки .

Також слід зауважити, що для границі функції справедливі арифметичні теореми і теореми порівняння, аналогічні відповідним теоремам про границю послідовності.

Дата добавления: 2015-05-24