Практикум по обратным логическим функциям

На основе метода, заложенного в алгоритме "Селигер", можно вывести соотношения для операций, обратных конъюнкции и дизъюнкции. Поскольку эти операции часто называются соответственно логическими умножением и сложением, то логично обратным операциям присвоить имена логического деления и логического вычитания. Впервые формулы для логического частного и логической разности для троичной логики получены Н.П.Брусенцовым[5].

Если логическое уравнение вида z=f(x1, x2, x3.....xi.....xn) решается относительно одной из своих переменных, например, отыскивается обратная функция x1=fi(z, x2, x3.....xi..... xn), то можно воспользоваться более простым алгоритмом "Селигер-С" решения задачи.

Алгоритм "Селигер-С"

1. Построить таблицу истинности для уравнения z=f(x1, x2..... xn).
2. По исходной таблице истиннсти построить таблицу истинности для обратной функции вида x1=fi(z, x2......xn) простой перестановкой столбцов z и х1.
3. По полученной таблице истинности построить обратную функцию x1=fi(z, x2,..... xn) и провести её минимизацию.

Пример 5

Дано: z = xу, v = x + у.Найти: у = z/x, у = v-x.

Решение

На основе формулы эквивалентности преобразуем исходную формулу z=xу. Тогда получим (z=xу) = zxу + z'(x'+у'). В соответствии с пп.4, 5 алгоритма "Селигер" получим у = xz+ix'z'+jx'z.

Решим ту же задачу посредством алгоритма "Селигер-С". Исходные уравнения представим в виде таблицы истинности. Тогда в соответствии с п.2 алгоритма "Селигер-С" построим частные таблицы истинности для у= z/x и у=v-x.

xy z v00 0 001 0 110 0 111 1 1 xz y=z/x00 i01 j10 011 1 xv y=v-x00 001 110 j11 i

В соответствии с п.3 алгоритма "Селигер-С" проведём минимизацию искомых функций в трёхзначной и комплементарной логиках.

Для комплементарной логики получим:

у = z/x = xz + ix'z' + jx'zу = u-x = x'v + ixv + ixv'

Для трёхзначной логики уравнения имеют вид:

у = z/x = xz + ix'у = v-x = x'v + ix

Однозначным и более строгим решением являются уравнения комплементарной логики.

Пример 5

Дана система логических уравнений (В. С. Левченков "Булевы уравнения" - М.:1999):

ax = bcbx = acНайти х.

Решение

Напрашивается простой и "очевидный" метод решения: сложить левые и правые части уравнений и сократить на общий множитель. В результате получим (a+b)x = (a+b)c. Откуда x = c, a = b. Ответ настораживает, тем более, что что решение противоречит принципу отыскания парных индивидов, поэтому проверим его на основе разработанных алгоритмов.

Действительно, сложить левые и правые части уравнений мы имеем право на основании правила (9П) Порецкого[35,стр,376]. Кстати, заодно и проверим это правило:

(9П) (e=c) —> (e+b=c+b) = ec'+e'c+(e+b)(c+b)+(e+b)'(c+b)' = ec'+e'c+ec+b+e'b'c' = 1;

Да, Порецкий не ошибся. Однако относительно сокращения на общий множитель великий русский логик нам ничего не сообщил. А так хочется это сделать, тем более что всё очевидно, и обычная алгебра нам не запрещает подобные операции. Проверим допустимость сокращения на общий множитель с помощью алгоритма "Импульс":

(cx=cy) —> (x=y) = cx(cy)'+(cx)'cy+xy+x'y' = cxy'+cx'y+xy+x'y' <> 1.

Оказывается, что алгебра логики не разрешает нам этакие вольности

По алгоритму "Селигер":

M = (ax = bc)(bx = ac)M' = (ax bc) + (bx ac) = ab'x+ac'x+a'bc+bcx'+a'bx+bc'x+acx'+ab'c.

После занесения M'в карту Карно получим

M = a'b'+abcx+c'x'.

Откуда решение системы логических уравнений в соответствии с алгоритмом "Селигер" примет вид:

x = abc+ia'b'+jc(ab'+a'b).a = bcx+ic'x'+jb(cx'+c'x).

Заданная система уравнений может быть представлена графически при помощи скалярных диаграмм.

a ---==--=b ---===--c --==---- a ---==--=b ---===--c --==----d -===---- d -===----

Подтвердим корректность метода на решении более прозрачной задачи.

Пример 6

Дана система логических уравнений:x = yu = vНайти решение системы.

Решение

M = (x = y)(u = v) = (xy + x'y')(uv + u'v') = u'v'(x'y' + xy)+uv(x'y' + xy)

По алгоритму "Селигер" получим y(x,u,v) = x(u = v)+j(u v)

Для перехода к y(x) достаточно в таблице истинности для полной единицы М вынести столбец значений y в графу функций и произвести синтез y(x) по вышеизложенным алгоритмам. В результате мы подтвердим исходное уравнение системы y(x) = x. Аналогично можно показать,что u(v) = v.

Дата добавления: 2015-05-08