Издержки дефицита отсутствуют

Рассмотрим отдельно задачу оптимизации такой стратегии применительно к случаю, когда “штрафные” издержки дефицита отсутствуют, т.е. когда в модели априори принимается, что C_g = 0 (нет штрафов из-за непоставленного товара). Подчеркнем, что при этом в неявной форме при оптимизации учитывается только упущенная выгода, что обусловливается значениями соответствующих денежных потоков. В этом случае выражение для f(Т,g) соответственно имеет более простой вид:

f(Т,g) = +Т×(1-g)²×а – 2(1-g)×П,

где для сокращения записи использованы обозначения

а = С_h + d×(С_П + Р_П),

П = Р_П – С_ОП

(при очевидном требовании а>0).

Обратим внимание на то, что граничный вариант g=1 следует рассматривать отдельно. Применительно к такому варианту для задачи минимизации f отметим следующее. Если g→1, то для получения максимальной интенсивности потока доходов имеем Т→∞, и соответственно F→0 (разумеется, если это не противоречит контрактным условиям). Другими словами, товар не поставляется: интенсивность потока доходов равна нулю (штрафные санкции отсутствуют).

Условия первого порядка (∂ f/ ∂ Т = 0 и∂ f/ ∂ g = 0 соответственно) имеют вид:

Обычными методами нетрудно показать, что эта система уравнений будет совместна тогда и только тогда, когда будет выполнено равенство

.

В противном случае, когда указанная система уравнений относительно неизвестных Т и g будет несовместной, оптимальные параметры стратегии управления запасами следует искать на границе области допустимых значений этих переменных. А именно, в таком случае выбор необходимо сделать из двух следующих вариантов:

1) либо g=0 (дефицит не планируется) и соответственно оптимальный интервал повторного заказа определяется равенством ;

2) либо g=1 и соответственно Т→∞ (как отмечено выше, в этом случае товар не поставляется, - работать с ним не рентабельно).

Легко видеть, что для первого варианта значение минимизируемой функции (обозначим его через f₁) определяется равенством

f₁=

Для второго варианта значение минимизируемой функции (обозначим его через f₂) определяется соответственно равенством f₂ = 0. Поэтому, вариант 1 будет выбран в качестве оптимального решения тогда, когда выполнено условие f₁< f₂. Легко видеть, что указанное условие эквивалентно выполнению неравенства

< П.

В обозначениях, принятых ранее применительно к рассматриваемой модели, это условие можно записать следующим образом

Р_П > C_ОП + .

ЗАМЕЧАНИЕ. Указанное условие можно интерпретировать как условие «рентабельности» соответствующего товара. Действительно, в неявной форме оно показывает, что прибыль (Р_П) на единицу товара должна быть больше соответствующих издержек поставок (С_ОП) на единицу товара, чтобы еще покрыть и дополнительные затраты (также в представлении на единицу товара), обусловливаемые как накладными расходами на поставку, так и издержками хранения, причем с учетом временной стоимости денег. Для формализации такой интерпретации в явном виде необходимо разрешить последнее неравенство относительно Р_П (обратите внимание на то, что Р_П стоит и в правой части указанного неравенства, причем под знаком квадратного корня). Для тех, кто предпочитает именно строгие формулировки, приведем соответствующее неравенство в виде, уже разрешенном относительно показателя прибыли на единицу товара:

Р_П > С_ОП + + .

Итак, если система уравнений для условий первого порядка окажется несовместной и при этом условие «рентабельности» товара будет выполнено, то при оптимальной стратегии дефицит не планируется (g^*=0), а остальные параметры оптимальной стратегии определяются равенствами:

Т^* = ,

q^* = ,

S^* = 0.

Наконец, осталось рассмотреть случай, когда приведенная выше система уравнений (условия первого порядка) окажется совместной. В этом случае, естественно, выполнено равенство

Р_П = C_ОП + ,

(или соответственно эквивалентное равенство в упрощающих запись обозначениях). Легко видеть, что общее решение системы соответствующих уравнений можно представить следующим образом:

Т×(1-g) = .

Соответственно для значения минимизируемой функции f в этой ситуации получаем значение, равное нулю. Действительно, для величины f /(1-g) в этом случае имеем

f /(1-g) = .

Таким образом, в случае совместной системы уравнений (для условий первого порядка) оптимальному решению соответствует равенство f=0, а следовательно, и равенство F=0. Другими словами, в указанном случае интенсивность доходов окажется равной нулю, т.е. товар можно не поставлять.

ПРИМЕР 6.2. Пусть анализируется оптимальная стратегия организации поставок некоторого товара, максимизирующая интенсивность потока доходов для соответствующих логистических операций с учетом годовой ставки наращения, составляющей 20%. При этом требуется дополнительно учесть, что анализируется стратегия, допускающая дефицит такого товара, который не будет покрываться при поставках. При этом в модели принимается, что штрафные издержки дефицита отсутствуют. Напомним, что необходимые в рамках указанного анализа параметры – следующие:

§ D = 10 000 (ед. тов.) – объем годового потребления товара;

§ C₀ = 20 (у.е.) – накладные расходы на поставку одной партии товара;

§ С_П = 100 (у.е.) – цена единицы соответствующего товара;

§ Р_П = 40 (у.е.) – прибыль от реализации единицы товара;

§ С_h = 20 (у.е.) – годовые издержки хранения единицы товара;

§ С_g = 0 (у.е.) – издержки из-за дефицита отсутствуют.

Дополнительно, для удобства дальнейшего сравнения результатов с аналогичными, но уже для классической модели без учета временной стоимости денег, полагаем C_0П = 0 (например, соответствующие издержки уже включены в стоимость товара). Кроме того, подчеркнем, что в соответствии с условиями примера далее в расчетах снова принимаем r = 0,2 и, следовательно, d = 0,1(6).

Найдем параметры оптимальных стратегий управления запасами как на основе алгоритма оптимизации для модифицированной модели с учетом временной структуры процентных ставок при выплате издержек хранения пренумерандо, так и на основе рекомендаций для традиционной модели (без учета временной стоимости денег), и сравним их между собой.

РЕШЕНИЕ. Прежде всего, заметим, что система уравнений (для условий первого порядка) при заданных параметрах модели будет очевидно несовместной, т. к.

Р_П ¹ C_ОП + Û 40¹ .

При этом, условие «рентабельности» для товара выполнено, поскольку

40 > .

Следовательно, как мы уже знаем, в такой ситуации оптимальная стратегия не допускает планирования дефицита (g ^*=0 и S ^*=0). При этом для остальных параметров оптимальной стратегии имеем:

Т^* = = 0,0096

q^* = = 96

Соответственно, интенсивность потока доходов (по формуле (*)) составит

F(T^*) = 10000×40 – 20/0,0096 – 20∙10000×0,0096/2–

– (100+40)∙10000×0,0096×0,1(6) /2 = 395836,7 (у.е./год).

Обратим теперь внимание на следующее. Если формально использовать в рамках этого примера традиционные для теории управления запасами рекомендации модели планируемого дефицита, который не покрывается при поставках (без учета временной стоимости денег), то в указанной ситуации (C_g = 0) соответствующие рекомендации, как уже отмечалось выше, дают вырожденное решение: g®1 и T®¥ (т.е. товар не поставлять). Разумеется, при этом интенсивность потока доходов будет нулевой. Сравнивая такую стратегию с найденной нами выше в рамках представленного анализа (на основе изложенного подхода к оптимизации с учетом временной стоимости денег), любой менеджер предпочтет именно ту стратегию, которая была найдена выше в рамках разработанного подхода к оптимизации модели, позволяющего учитывать как процентные ставки, так и показатели прибыли на единицу товара. Кстати, завершая иллюстрацию этого примера подчеркнем, что такие громадные расхождения в рекомендациях при различных сравниваемых подходах, а также в соответствующих интенсивностях потоков доходов для указанных стратегий (395836,7 у.е. вместо 0) оказались обусловленными:

1) выбранным критерием оптимизации;

2) учетом в рамках модели показателя прибыли на единицу товара.

Дата добавления: 2015-05-08