Структура кодовых векторных пространств

Описание процессов кодирования и декодирования

Исходным материалом для построения кодовых конструкций служит n-мерное двоичное векторное пространство, в котором заданы операции арифметики по модулю 2. В него вложено k-мерное линейное пространство, содержащее 2^k кодовых слов. Код С образуется с помощью 2^k комбинаций k линейно независимых базисных векторов {g₁,…,g_k}.

Эти векторы образуют строки порождающей матрицы кода С.

Для кода C существует дуальный код C_d такой, что скалярное произведение любой пары векторов, один из которых принадлежит пространству С, а другой — пространству C_d, всегда равно нулю. Это значит, что векторы кода С_d ортогональны векторам кода С. С другой стороны, если некоторый вектор ортогонален всем векторам кода С, то он принадлежит коду С_d и наоборот. Дуальное векторное подпространство «натянуто» на n−k линейно независимые базисные векторы {h₁,…,h_n−k}. Эти векторы образуют строки проверочной матрицы.

Рассмотрим пример порождающей и проверочной матриц (4,7)-кода Хэмминга:

Следует отметить важное свойство: как в порождающей, так и в проверочной матрице присутствует единичная матрица. Это свойство используется в процессах кодирования и декодирования.

Дата добавления: 2015-05-09