Способы представления логических функций (ЛФ)

Условные обозначения логических функций

Количество входов логического элемента, участвующих в формировании логической функции, называется коэффициентом объединения - Коб (не путать с коэффициентом разветвления). У всех выше приведенных схем, за исключением инвертора, коэффициент объединения равен двум. Промышленностью выпускаются схемы с Коб=2,3,4,8. Для получения схем с другим числом входов основные элементы можно объединять. Например, если требуется пятивходовая схема И, то ее можно получить, используя сочетательный закон следующим способом: x0*x1*x2*x3*x4 = (x0*x1)*(x2*x3*x4) = (x0*x1)*x2*x3*x4, т.е. требуются две двухвходовые и одна трехвходовая схемы И, для первого варианта, либо одна двухвходовая и одна четырехвходовая - для второго (рис.1).

Можно использовать и восьмивходовую схему И, подав на незадействованные входы "1", либо некоторые из переменных, в соответствии с выражениями (5) или (7).

Целью проектирования цифрового устройства является получение его логической функции (ЛФ) и соответствующей ей схемной реализации. ЛФ могут иметь различные формы представления: 1) словесное, 2) графическое, 3) табличное, 4) алгебраическое, 5) на алгоритмическом языке (например VHDL) и 6) схемное. В качестве примера, рассмотрим функцию Y от двух переменных x1 и x0, заданную словесным описанием: Y=1, если переменные НЕ РАВНЫ и Y=0, если x1=x0. Такую ЛФ удобно назвать функцией НЕРАВНОЗНАЧНОСТИ. Переходим к табличному представлению Y (таблица 2).

Табличное представление значений ЛФ для всех наборов входных переменных называется таблицей истинности. В общем виде переход от табличного представления к алгебраическому может осуществляться по формуле (12), одной из основных в алгебре логики.

Выражение (12) называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой ЛФ (СДНФ). mi - минтерм или логическое произведение всех переменных i-го двоичного набора, входящих в прямом виде, если значение этой переменной в наборе равно 1, и в инверсном виде, если ее значение равно 0. fi - значение ЛФ на i - ом наборе. Доказательство (12) базируется на теореме разложения, в соответствии с которой любую ЛФ f(..) от n-переменных можно разложить по переменной xi в виде: f(x(n-1),...,xi,...,x0) = ~xi*f(x(n-1),...,0,..,x0) + xi*f(x(n-1),..,1,..,x0). Это выражение для xi=0 равно ~0*f(x(n-1),...,0,..,x0) + 0*f(x(n-1),..,1,..,x0) = f(x(n-1),...,0,..,x0). При xi=1 оно будет равно ~1*f(x(n-1),..,1,..,x0) + 1*f(x(n-1),..,1,..,x0) = f(x(n-1),...,1,..,x0), т.е. при любых значениях xi теорема разложения справедлива. Теорему разложения можно применить n раз и тогда ЛФ будет разложена по всем своим переменным.

В виде примера рассмотрим функцию F=f(x1,x0) от двух переменных. Разложение этой функции по переменной x1 даст: F= ~x1*f(0,x0) + x1*f(1,x0). Продолжая эту операцию для переменной x0, получим:

F =~x1*(~x0*(f(0,0) + x0*(f(0,1)) + x1*(~x0*(f(1,0) + x0*(f(1,1)) = ~x1*~x0*f(0,0) + ~x1*x0*f(0,1) + x1*~x0*f(1,0) + x1*x0*f(1,1). (12.1)

Выражение (12.1) позволяет записать все переключательные функции от двух переменных, используя только три основных логических операции.

Рассмотрим разложение функций F7-"ИЛИ" и F1-"И", для чего необходимо обратиться к соответствующим строчкам таблицы 1. Функция И на двоичных наборах входных переменных x1 и x0 (00,01,10,11) принимает значения 0,0,0,1. Записывая выражение (12.1) для этих значений получим: F1(x1,x0) = ~x1*~x0*0 + ~x1*x0*0 + x1*~x0*0 + x1*x0*1 = x1*x0, что соогласуется с ее определением. Таким же образом, находим алгебраическое выражение функции F7-"ИЛИ", которая, соответственно, на тех же входных наборах принимает значения: 0,1,1,1. Тогда, в соответствии с (12.1), F7(x1,x0) = ~x1*~x0*0 + ~x1*x0*1 + x1*~x0*1 + x1*x0*1. Вынося за скобки в двух последних слагаемых x1, получим F7 = ~x1*x0*1 + x1*(~x0*1 + x0*1). На основании аксиомы (8), выражение в скобке равно "1" и F7 = ~x1*x0*1 + x1. Применяя распределительный закон, найдем (~x1+x1) * (x0+x1) = x1+x0.

Возвращаясь к таблице 2, получим Y = 0*~x1*~x0 + 1*~x1*x0 + 1*x1*~x0 + 0*x1*x0 = ~x1*x0 + x1*~x0 = x1 (+) x0 = F6 (функцияия неравнозначности).

С помощью формулы (12) любую, сколь угодно сложную, логическую функцию можно представить в виде трех основных ЛФ: "И", "ИЛИ", "НЕ", представляющих собой логический базис.

Дата добавления: 2015-05-09