Определение скорости и расхода жидкости. Практическое применение закона Бернулли

1. Определение скорости и расхода жидкости

На практике уравнение Бернулли используется для определения скорости и расхода движущейся жидкости, а так же для определения времени истечения жидкости из резервуара.

На основании уравнения Бернулли действуют приборы, служащие для измерения расхода жидкости.

Один из простейших приборов для измерения расхода жидкости - диафрагма. Т.е. это - плоский диск с калиброванным круглым отверстием, имеющим острую кромку. Диафрагма устанавливается на трубопроводе, по которому движется жидкость.

В сечениях 1-1 и 2-2 к трубопроводу подключены стеклянные трубки, которые позволяют измерять пьезометрический напор в движущейся жидкости. Поток жидкости, проходя через диафрагму, сужается, и диаметр потока уменьшается от d1 до d2. В суженном сечении происходит увеличение скоростного напора и, как следует из уравнения Бернулли, пьезометрический напор сжимается от P₁/(pg) до P₂/(pg). Обозначая Н = (P₁ - P₂)/pg, и учитывая что z₁ = z₂ (т.к. трубопровод горизонтален), из уравнения Бернулли получаем:

(P₁ – P₂)/ g = (V₂² – V₁²)/2g = H (1)

или

V₂² (1 - (V₁²/V₂²)) = 2gH (2)

Из уравнения неразрывности для несжимаемой жидкости:

q_v = V₁F₁ = V₂F₂ = V₁Пd₁²/4 = V₂Пd₂²/4 (3)

найдем, что V₁/V₂ = d₂²/d₁² (4)

используя это соотношение, получим:

V₂ =√2gH /√1 - (d₂/d₁)⁴ (5)

Подставив V₂ в уравнение неразрывности (3), найдем выражение для определения расхода жидкости:

q_v= Пd₂²/√ 1-(d₂/d₁)⁴ *√ 2gH (6)

Таким образом, измеряя Н с помощью пьезометрических труб или манометра по этой формуле можно рассчитать расход жидкости, текущей по трубопроводу. Кроме того, при движении реальной жидкости через дроссельные приборы, вводят коэффициенты:

а) α - коэффициент расхода дроссельного прибора, определяется опытным путем или по справочным данным;

α = f (Re, d₀ / d₁).

б) у – коэффициент скорости, учитывающий потери напора на преодоление сопротивления, вызванного внезапным сужением потока в отверстии;

в) ε - коэффициент сжатия струи.

α = у * ε

2. Практическое применение закона Бернулли.

На принципе Бернулли основана работа некоторых приборов для измерения скорости и расхода жидкости.

I) Трубка Пито–Прандтля

h

р

р _о

v

Рис. 6

В названии прибора фигурирует имя французского математика, физика и гидротехника, члена Парижской академии наук (с 1724 г.) Анри Питó (H. Pitot; 1695-1771). В 1732 г. он опубликовал сочинение «Описание одного прибора для измерения скорости воды, текущей струёй из сосуда», в котором показал, что если в поток воды в канале опустить трубку, загнутую навстречу потоку (см. рис. 6), то вода в трубке поднимается выше уровня воды в самом канале. При этом высота подъёма воды в трубке (h) пропорциональна скорости потока (v).

Однако измерение скоростей потоков в напорных трубопроводах с помощью только трубки Пито технически невозможно, так как за счёт повышенного давления жидкость может подниматься на значительную высоту. (Как известно, давление в 1 избыточную атмосферу поднимает воду на 10 м!) В связи с этим в начале XX века немецкий учёный Людвиг Прандтль предложил дополнить конструкцию второй трубкой, отверстие которой параллельно линиям тока. Измеряя разность давлений в этих двух трубках, можно рассчитать скорость потока.

Для получения расчетной зависимости рассмотрим горизонтальную трубку тока, упирающуюся своим концом в отверстие трубки Пито. Вдали от отверстия жидкость, имеющая плотность r_L, течёт со скоростью v; давление в жидкости равно р. У преграды (у отверстия трубки Пито), то есть в критической точке, давление равно р _о, а скорость потока v _o = 0.

Запишем уравнение Бернулли для этой элементарной струйки:

, (1)

откуда, учитывая, что z = z _o, а v _о = 0,

. (2)

Скорость, а, следовательно, и давление вблизи отверстия трубки Прандтля практически не отличаются от скорости и давления в невозмущённом потоке.

Таким образом, в двух трубках прибора создаётся разность давлений, равная .

Эту разность давлений можно измерить, например, U-образным дифференциальным манометром, заполненным манометрической жидкостью с плотностью r_м. При фиксируемой разности уровней манометрической жидкости в коленах дифманометра, равной h _м, в соответствии с уравнением гидростатики имеем: . Отсюда:

. (3)

Индекс «i» у символа скорости здесь показывает, что определена скорость i -ой элементарной струйки, то есть локальная скорость потока в месте установки датчика (трубки Пито).

Измерив скорости в различных точках, можно определить среднюю скорость потока а зная последнюю — расход жидкости.

Дроссельные устройства.

К дроссельным устройствам относятся мерная диафрагма, мерное сопло, труба Вентури и др.

Мерная диафрагма (рис. 7) представляет собой устройство, которое имеет тонкий металлический диск Д с центральным круглым отверстием, имеющим заострённую кромку. Диаметр отверстия диафрагмы d _o меньше диаметра d трубы Т, на которой устанавливается диафрагма.

Диск диафрагмы с обеих сторон зажимается металлическими кольцами К, внутренний диаметр которых равен диаметру d трубопровода Т.

В наиболее распространённом варианте исполнения диафрагмы в указанных кольцах выполнены кольцевые камеры, усредняющие по поперечному сечению потока давление р до диафрагмы и давление р _о за отверстием в диске.

p _o

p

р

р _о

d _o

d

Д

К

Ф

Т

р

р _о

d _o

d

Рис. 7

Рис. 8

Рис. 9

При монтаже на трубопроводе мерная диафрагма укрепляется между фланцами Ф, приваренными на трубе Т.

Мерное сопло (рис. 8) — деталь специального профиля, имеющая плавно закруглённый вход и цилиндрическое выходное отверстие диаметром d _o, меньше диаметра трубы d. Труба Вентури [1] (рис. 9) — конструкция, имеющая на входе цилиндрический участок, затем — конфузор (сходящийся усечённый конус), цилиндрическое горло и диффузор (расходящийся конус). Длины цилиндрических участков равны их диаметрам. Отборы давлений р и р _о производятся в серединах цилиндрических элементов конструкции.

Как видим, названные устройства различаются конструктивно, но являются однотипными по принципу действия. В узких местах этих дроссельных приборов скорость потока возрастает пропорционально квадрату уменьшения диаметра, а давление — понижается от величины р [до устройства] до величины р _о [в узком месте]. Измерив, например, дифференциальным манометром, возникающую разность давлений, можно оценить скорость течения жидкости.

Формула для расчёта скорости потока в трубе диаметром d имеет вид:

. (4)

Формула (10.4) получена на основе предположения об идеальности жидкости. Фактически дроссельные устройства используются для измерения скоростей реальных (вязких) сред, в связи с чем правая часть формулы умножается на коэффициент расхода дроссельного прибора (α), значение которого индивидуально для каждого устройства и определяется по соответствующим справочникам.

Дата добавления: 2015-05-09